来自菲尔兹奖得主邓煜的一道不等式：2023年CTST P11的期望证法

2023年CTST P11.pdf

题目：（2023年CTST P11，邓煜）

设 是正整数，且()．求证：存在，使得

我们先证明一个二维情形的引理：

任取（）．设 是相互独立且等概率取的随机变量，并令．则

引理的证明：

由于所有随机变量相互独立，且均值为，展开后，只有平方项的期望非零．因此

固定 ，并记

此时 ．对 取条件期望，由于只有每个 均出现偶数次的项可能有非零期望，故

对每个固定的 ，随机变量是个相互独立的随机符号之和．展开 后，非零期望项只有两类：

• 四个指标全相同；
• 两个不同指标各出现两次．

于是

另一方面，对 ，定义．由 ，有

若无序对 ，则；除此之外，．

因此，将上式平方并取期望可得

由于每个 是 个 之和，故，从而

对再关于取期望，得

最后，由Hölder不等式，

可得

引理得证．

回到原题．

仍取相互独立且等概率取 的随机变量，并对每个，定义

对每个固定的 ，将引理应用于，得到

故由期望的线性性，

因此，存在一组确定的

使得令时，有

最后，对每个 ，取

于是，从而

命题得证．