四面体中的钝二面角个数

题目 （2008年安徽省预赛）四面体的个二面角中钝角个数最多为_______．

首先容易猜测出答案为，并给出一个构造如下：

考虑正三棱锥，当点足够接近平面时，二面角、，均为钝角．

下面证明：钝二面角的个数不可能为．为方便叙述，我们用表示以为棱的二面角．

假设四面体中存在四个钝二面角，考虑剩余两个二面角的位置关系．有如下两种情形：

1. 两个二面角有公共面；
2. 两个二面角无公共面．

我们证明情形1是不可能的．

在情形1中，必有一个面不属于剩余两个二面角，于是这个面与四面体的其余三个面所构成的二面角均为钝角．不妨设平面和剩余个面所构成的角均为钝角．

我们有如下基本结论：

结论1 若为钝二面角，则在平面内的射影与位于异侧．

由这一结论，结合，，均为钝二面角，可知，点在平面上的射影与点位于异侧，与点位于异侧，与点位于异侧，而平面上不存在这样的点．因此证明了情形1是不可能的．

考虑情形2，不妨设剩余两个二面角为和．

取四面体的内切球球心，内切球在四个面上的切点，，，．则、、、为四面体四个面的法向量，且均指向四面体外部．于是、为、所在四面体两面、所成二面角的补角．

我们有如下结论：

结论2 在四面体内部．

此结论看似显然，但证明需要花费一些功夫，在此不再赘述．

由结论2，在、、、中，任意两个不共线，任意三个不共面．

于是存在唯一的正实数组，，，，使得

简记，于是

由题意知，四个面所成的二面角中，有四个钝角，且剩余两个角无公共面．于是在的六项中，四项为正，且剩余两项的四个向量无相同下标，不妨设为和．则

矛盾！于是钝二面角的个数不可能为．

也可用三面角的余弦定理进行证明．

三面角的余弦定理 在四面体中，记号同上．有如下两个结论：

结论3（由平面角计算二面角）

结论4（由二面角计算平面角）

同方法一，我们只考虑和以外的四个二面角为钝角的情形．

则

由上面的公式2:

即和均为钝角，这显然不可能．