每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．下面就是2022年中国夏令营的IMOC练习题．

代数组

1. 正实数，，满足，求证：

2. 给定正整数，实数，，，满足．求

   的最大值．

3. 求所有函数：满足：

   

4. 记所有从到的双射组成的集合为．求所有映射：，满足：

   

5. 求所有函数：满足：

6. 求所有函数：满足：

   

几何组

1. 的外心和垂心分别为和．为平行四边形．若，求证：和的交点在的中垂线上．

2. 的内心为．内切圆在，，上的切点分别为点，，．点在上，满足．设的-旁心为点．求证：、、三点共线当且仅当、、、四点共圆．

3. 为锐角三角形．为上一点．在直线上取点、，使得、、、四点共圆．设、、、和的另一个交点分别为、、、．设和的外心分别为点和．求证：、、、四点共圆．

4. 设锐角的外接圆为．过作的平行线和再次交于点．以为圆心，为半径作圆，和再次交于点；以为圆心，为半径作圆，和再次交于点．设的外接圆和的交点为（异于点）．和再次交于点，和再次交于点．的外心为点，求证：、、三点共线．

5. 为内一点．交于点，交于点．和的外接圆再次交于点．的外接圆和的外接圆再次交于点．上一点满足．求证：的外接圆过的中点．

6. 设为的外接圆上一点．在上，在上，使得、、、四点共圆．为中点．若、、三线共点，求证：和的交点在圆上，或．