两道条件为x+y+z=xy+yz+zx的不等式

今天，在不等式爱好者群中，吴老师问了如下不等式：

实数，，满足．证明：

以下为我的证明：

引理：

若，则、、中至少有一个非负．

引理的证明：

反证．否则、、均为负数．对、、的正负分类讨论：

(1)、、均为非负．则、、均为负数．此时

矛盾．

(2)、、中恰有一个为负数．不妨设．则

即．且，．故，．设，．（，）

则，即．

，即．

于是，同理，于是．

而由知．

三式相乘得，矛盾．

(3)、、中恰有两个为负数．不妨设，．则

即．

由知，即，由对称性不妨设，．设，（，）．

由，知：．

由，知：．

两式相乘得，矛盾．

(4)、、均为负数．则，，均为负数．此时

矛盾．

引理得证．

回到原题

由引理不妨设．于是

2019 年伊朗 IMO 代表队选拔考试中有一道与此类似的题：

实数，，满足．证明：

解答如下：