2023年以色列纪念Grosman数学竞赛
公众号原标题：2023年以色列纪念Grosman数学竞赛——中文翻译
Grosman MO始于1961年，由Grosman教授举办，由6-7个问题组成，是以色列的两个数学竞赛之一。（另一个是以色列MO，始于1969年）
2023年以色列纪念Grosman数学竞赛
程国根 译
1. 已知$10$个自然数成等差数列，且公差为$11$．求证：它们的乘积能被$10!$整除．
2. 将$1,2,\cdots,mn$填入一个$n$行$m$列的方格表中，使得每一行从左到右、每一列从上到下中的数字都是递增的．至少要给定多少个方格中的数字，才能使剩余方格中数字的填法是唯一的？
3. 求所有复系数多项式$p,q$，使得$$p(x)\cdot q(x)=p(q(x)).$$
4. 设$q$为奇素数．求证：以下$q-1$个数均无法表示为两个素数（可相同）之积：$$1^{2}+1+q,2^{2}+2+q,\cdots,(q-1)^{2}+(q-1)+q$$
5. 数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{0}=4$，且对任意$n\ge 0$，都有$a_{n+1}=\frac{a_{n}(a_{n}-1)}{2}$．数列$\{b_{n}\}$满足：若$a_{n}$为偶数，则$b_{n}=0$；若$a_{n}$为奇数，则$b_{n}=1$．求证：对任意自然数$m$，数列$b_{m},b_{m+1},b_{m+2},\cdots$不为周期数列．
6. 亚当和夏娃玩一个猜数字游戏．亚当在心里想一个自然数$x$，每一次夏娃可以任选一个自然数$n$，并问$x+n$是否为素数．求证：夏娃可以在问有限个问题之后猜出$x$的值．
7. 将平面上的所有点进行二染色，满足条件：对任意实数$a>0$，存在一个边长为$a$的正三角形，它的三个顶点是同色的．求证：对任意实数$a,b,c>0$，都存在一个三边长分别为$a,b,c$的三角形，它的三个顶点是同色的．
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\section*{2023年以色列纪念Grosman数学竞赛}\flushright 程国根\quad 译\ex 已知$10$个自然数成等差数列，且公差为$11$．求证：它们的乘积能被$10!$整除．\vfill\ex 将$1,2,\cdots,mn$填入一个$n$行$m$列的方格表中，使得每一行从左到右、每一列从上到下中的数字都是递增的．至少要给定多少个方格中的数字，才能使剩余方格中数字的填法是唯一的？\vfill\ex 求所有复系数多项式$p,q$，使得$$p(x)\cdot q(x)=p(q(x)).$$\vfill\ex 设$q$为奇素数．求证：以下$q-1$个数均无法表示为两个素数（可相同）之积：$$1^{2}+1+q,2^{2}+2+q,\cdots,(q-1)^{2}+(q-1)+q$$\vfill\ex 数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{0}=4$，且对任意$n\ge 0$，都有$a_{n+1}=\frac{a_{n}(a_{n}-1)}{2}$．数列$\{b_{n}\}$满足：若$a_{n}$为偶数，则$b_{n}=0$；若$a_{n}$为奇数，则$b_{n}=1$．求证：对任意自然数$m$，数列$b_{m},b_{m+1},b_{m+2},\cdots$不为周期数列．\vfill\ex 亚当和夏娃玩一个猜数字游戏．亚当在心里想一个自然数$x$，每一次夏娃可以任选一个自然数$n$，并问$x+n$是否为素数．求证：夏娃可以在问有限个问题之后猜出$x$的值．\vfill\ex 将平面上的所有点进行二染色，满足条件：对任意实数$a>0$，存在一个边长为$a$的正三角形，它的三个顶点是同色的．求证：对任意实数$a,b,c>0$，都存在一个三边长分别为$a,b,c$的三角形，它的三个顶点是同色的．\vfill
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