2024年第三届白俄罗斯-伊朗友谊赛
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2024年第三届白俄罗斯-伊朗友谊赛
第一天
{程国根 译}
1. 给定一个多面体$P$．Mikita声称他可以在$P$的每个面上写一个整数，满足写下的数不全为$0$，且对于$P$的每个顶点$V$，包含$V$的所有面上的数之和为$0$．Matvei声称他可以在$P$的每个顶点上写一个整数，满足写下的数不全为$0$，且对于$P$的每个面$F$，$F$中每个顶点上的数之和为$0$．求证：若$P$的棱数为奇数，那么至少有一个男孩是对的．
2. 给定整数$n\ge 2$．正实数$x_{1}\le x_{2}\le\cdots\le x_{n}$满足：$\sum_{k=1}^{n}x_{k}=4n$，$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}}=n$．求证：$\frac{x_{n}}{x_{1}}\ge 7+4\sqrt{3}$．
3. 设整数$a>1$不为$4$的倍数．求证：存在无穷多个$4k-1$型的素数$p$，使得存在正整数$d<\frac{p-1}{2}$，满足$p\mid a^{d}-1$．
2024年第三届白俄罗斯-伊朗友谊赛
第二天
{程国根 译}
4. 求证：不定方程$2+x^3y+y^2+z^2=0$无整数解．
5. $\triangle ABC$的外心为$O$，外接圆为$\Gamma$．点$D$满足$BD\perp BC$，且$A,D$在直线$BC$的异侧．点$E$满足$\angle ADB=\angle BDE$，且$\angle EBD+\angle ACB=90^{\circ}$．在直线$AD$上取点$P$，使得$OP\perp BC$．点$Q$为$\Gamma$上任意一点，在直线$BQ$上取点$R$，使得$PQ\parallel DR$．求证：$\angle ARB=\angle BRE$．（所有角都同向）
6. Vika将某一些正整数称作“好的”，且在任意连续$10$个正整数中，至少有一个正整数是好的．求证：存在无穷多个正整数$n$，使得$ab-cd=2n^{2}$，其中$a,b,c,d$均为好的．
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\section*{2024年第三届白俄罗斯-伊朗友谊赛}\section*{第一天}\flushright{程国根\quad 译}\ex 给定一个多面体$P$．Mikita声称他可以在$P$的每个面上写一个整数，满足写下的数不全为$0$，且对于$P$的每个顶点$V$，包含$V$的所有面上的数之和为$0$．Matvei声称他可以在$P$的每个顶点上写一个整数，满足写下的数不全为$0$，且对于$P$的每个面$F$，$F$中每个顶点上的数之和为$0$．求证：若$P$的棱数为奇数，那么至少有一个男孩是对的．\vfill\ex 给定整数$n\ge 2$．正实数$x_{1}\le x_{2}\le\cdots\le x_{n}$满足：$\sum_{k=1}^{n}x_{k}=4n$，$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}}=n$．求证：$\frac{x_{n}}{x_{1}}\ge 7+4\sqrt{3}$．\vfill\ex 设整数$a>1$不为$4$的倍数．求证：存在无穷多个$4k-1$型的素数$p$，使得存在正整数$d<\frac{p-1}{2}$，满足$p\mid a^{d}-1$．\vfill\nextpage\section*{2024年第三届白俄罗斯-伊朗友谊赛}\section*{第二天}\flushright{程国根\quad 译}\ex 求证：不定方程$2+x^3y+y^2+z^2=0$无整数解．\vfill\ex $\triangle ABC$的外心为$O$，外接圆为$\Gamma$．点$D$满足$BD\perp BC$，且$A,D$在直线$BC$的异侧．点$E$满足$\angle ADB=\angle BDE$，且$\angle EBD+\angle ACB=90^{\circ}$．在直线$AD$上取点$P$，使得$OP\perp BC$．点$Q$为$\Gamma$上任意一点，在直线$BQ$上取点$R$，使得$PQ\parallel DR$．求证：$\angle ARB=\angle BRE$．（所有角都同向）\vfill\ex Vika将某一些正整数称作“好的”，且在任意连续$10$个正整数中，至少有一个正整数是好的．求证：存在无穷多个正整数$n$，使得$ab-cd=2n^{2}$，其中$a,b,c,d$均为好的．\vfill
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