2024年白俄罗斯数学奥林匹克十一年级组

\section*{2024年白俄罗斯数学奥林匹克}\section*{十一年级组第一天}\ex 设$m,n$为大于$1$的整数．给定$m+n$个不超过$mn-1$的正整数．求证：其中必存在两个整数$x\neq y$，使得$\lfloor \frac{x}{n} \rfloor = \lfloor \frac{y}{n} \rfloor$，且$\lfloor \frac{x}{m} \rfloor = \lfloor \frac{y}{m} \rfloor$．\vfill\ex 给定$29$个二次多项式$f_{1}(x),\cdots,f_{29}(x)$和$15$个实数$x_{1}<\cdots<x_{15}$．求证：对给定的两个多项式$f_{i}(x)$和$f_{j}(x)$，下面的不等式成立：$$\sum_{k=1}^{14} (f_i(x_{k+1})-f_i(x_k))(f_j(x_{k+1})-f_j(x_k))>0.$$\vfill\ex 在$\triangle ABC$中，$I$为内心，$I_{A}$为$A$所对的旁心，$W$为$\triangle ABC$的外接圆$\omega$上弧$BAC$的中点．点$H$为$I_{A}$在$IW$上的射影．过点$I$作$\triangle BIC$外接圆的切线，和$\omega$交于点$E,F$．求证：$AI$的中垂线与$\triangle EFH$的外接圆相切．\vfill\ex 由正整数构成的非空集合$M$具有性质：若正整数$a_{1},\cdots,a_{2024}$（不必互异）在$M$中，则$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2024}$也在$M$中．求证：所有不小于$2049$的数都在$M$中．\vfill\nextpage\section*{2024年白俄罗斯数学奥林匹克}\section*{十一年级组第二天}\ex 在圆$\omega$的弦$AB$上取点$C$和$D$，使得点$C$位于$A$和$D$之间，且$AC=BD$．在 $\omega$上取点$E$和$F$，使得$E$和$F$位于直线$AB$的异侧，满足$EC$和$FD$均垂直于$AB$．$\angle AEB$的角平分线与直线$DF$相交于$R$．求证：以$F$为圆心，$FR$为半径的圆与$\omega$相切．\vfill\ex 设$2=p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{n}<\cdots$为全体素数．求证：对任意正整数$n\ge 3$，至少存在$p_{n}+n-1$个不超过$p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$的素数．\vfill\ex 正实数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$满足条件$$2a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}=a_n+\frac{n^2-3n+2}{2}.$$对任意正整数$n\ge 3$，求下式的最小可能值：$$\frac{(a_1+1)^2}{a_2}+\cdots+\frac{(a_{n-1}+1)^2}{a_n}.$$\vfill\ex 投影仪在空间中发射出一些光线．考虑光线所成的所有锐角，已知任意去掉一条光线都会使锐角的数量减少$2$．投影仪能发出的最大光线数量是多少？\vfill