初级组

1. 求所有非负整数，使得

2. 点、、在同一条直线上顺次排列，以为直径作半圆，以为直径作半圆，且和位于同侧．上一点满足，以为圆心，为半径的圆和交于点．上一点满足．求证：．

3. 求不定方程的正整数解：

4. 将个球放入若干个篮子中，每个篮子中球的个数不超过．每一次操作可以移除任意篮子中的若干个球，或者移除一个空的篮子．求证：存在某种操作顺序，使得最后剩下的每个篮子中球的数量均相等，且总数量不少于．

5. 设实数，，满足

求

的所有可能值．

6. 设为锐角三角形，为其外接圆．点在不包含的弧上，点在直线上．在点处的切线交于点，和交于点．已知，求证：．

7. 求证：每个正整数均可以表示为下面的形式：

其中和均为整数．

8. 在数轴上给定个区间，，，，．已知可以将这些区间分为两个集合，使得同一集合中的任意两个区间均不重叠．求证：至多存在对有重叠的区间．

9. 设正边形内接于圆，点为上任意一点．，，，分别为，，，的垂心．求证：为正边形．

10. Joy在一块的棋盘上进行游戏．在每一次操作中，他将棋盘上的一格染色，每个方格至多被染色一次．与此同时，Joy会进行计分．每一次操作中，在将一格染色后，他取出一个以格为中心的“十字架”，其中每一个均已被染色，并将该十字架中方格个数的最大可能值作为该次操作的得分．在将棋盘上的所有方格染色之后，Joy的总得分最大值是多少？
    注：十字架的每一支中方格个数不必相等，且可以为．

高级组

1. 求所有非负整数，使得

2. 元集合的所有元素之和为．已知集合中每个元素均小于．求证：集合中任意三个元素，和均满足．

3. 对任意正整数，定义为不整除的最小正整数．例如：，．求证：对任意正整数，和中必有一个为．

4. 等腰梯形内接于圆，，为上一点，和分别为和的垂心．求证：当点在上运动时，的长度为定值．

5. 为的可积函数，且满足时，（改为af(a)+bf(b)=0）．求积分：

6. 同初级组第8题．

7. 设为锐角三角形，为其外接圆．过点作的垂线，和交于点，和交于点．过点、且和相切于点的圆和交于点．和交于点，和交于点，交于点．求证：点和点关于的中垂线轴对称．

8. 同初级组第10题．

9. 设为锐角三角形．点在边上，且平分．直线和、的外接圆分别相切于点、．点、、分别为、、的中点．求证：和的外接圆相切．

10. 次实系数多项式满足，且有个实根，，，（不必互异），满足．求的最大值．