初中组

1. 求所有满足以下方程组的三元实数组：

2. 在中，、分别为、的中点．线段上两点、满足，．求证：．

3. 求满足以下性质的矩形个数：
   (1)在平面直角坐标系下，每个顶点的坐标满足、为非负整数，且，；
   (2)每条边均与坐标轴平行；
   (3)设面积为，则．

4. 求所有正整数、，其中，使得是的约数，是的约数．

高中组

1. 求所有满足以下方程组的四元正实数组：

2. 给定，，的角平分线和交于点，点为的内心．点为线段的中点，和外接圆的另一个交点为点．求证：．

3. 求所有在十进制下恰由个数码和一个数码组成的完全平方数，其中为正整数．

4. 一个班上有名学生，每张桌子上都坐着两名学生．突然，学生们决定换位置，使得所有原来同桌的两人均被分开．求最大的正整数，使得无论学生如何选择座位，最后总存在一个由名学生组成的集合，其中的任意两名学生从未当过同桌．