等轴双曲线内接正三角形的面积最小值

在平面直角坐标系中，点，，在双曲线上，满足为等边三角形．求的面积的最小值．

注：本题改编自2020年高联一试第11题，原题为等腰直角三角形．

首先我们有一个关于等轴双曲线的熟知结论：

命题1： 等轴双曲线上任意三点构成的三角形的九点圆（中点三角形的外接圆）过原点．

证明： 如图，首先有为中点．（将分别与、联立，由韦达定理知中点和中点重合．也可以利用反比例函数的等面积性质，使用纯几何方法证明．）

于是为直角的斜边中线．

，同理．于是

于是、、、四点共圆，证毕．

接下来证明等轴双曲线上的内接三角形满足的充要条件．

命题2： 点，，在等轴双曲线上，则为正三角形的充要条件为：的外接圆和双曲线的第四个交点恰为外心关于原点的对称点．

证明： 易知三角形的外接圆和九点圆关于重心位似，相似比为．

当为正三角形时，重心、外心、九点圆心重合于三角形中心，于是由九点圆过原点知，外接圆过外心关于原点的对称点．

反之也能得到外心和九点圆心重合，于是也和重心重合，故三角形为正三角形．

回到原题．

由命题2可知，的外接圆半径，于是．

只需求上任意一点到原点距离的最小值，由均值不等式知显然为．

于是面积的最小值为．