用圆幂定理证明一道两圆相切问题

题目：

在中，中点为，弧的中点为．为上一点，的外心为．求证：的外接圆与的-鸡爪圆相切．

注：事实上，本题和点无关．

一般而言，要证明两圆相切，主要分以下三步：

1. 猜切点的性质，通常为某个特殊点，或在某条直线上
2. 证明两圆都过这个切点，一般可设它在其中一个圆上，再去证明在另一个圆上
3. 证明两圆在该点处相切，可以过该点作其中一个圆的切线，证明切线也和另一个圆相切（这一步可以简化，象征性地作出切线即可）

在本题中，通过观察容易猜到，切点在线段上，下面进行证明．

证明：

设和再次交于点，记和的半径分别为．由圆幂定理知：

即点在上．

类似的，

即，于是，．从而

即和相切于点，证毕．