第 4 期

给定一个正整数数．求证：总能选取的个约数（可以相同），使得其和恰好为．（这里为小于且和互素的正整数个数．）

解答 给出两个定义：

1. 如果正整数能表示成其个约数之和，且其中至少有个为，则称为“幸运数”；
2. 如果正整数能表示成其个约数之和，但其中的数量少于，则称为“伪幸运数”．

我们证明以下结论：

1. 除和外，所有素数的正整数次幂均为“幸运数”．

证明：注意到 ．

2. 如果，均为“幸运数”，且，则也为“幸运数”．

证明：由定义可设：

于是

上式展开后共有

项，且每一项均为的约数，证毕．

3. 对任意奇数，和为“伪幸运数”．

证明：，将的“幸运数”表达式中每一个数同时乘以，即得的“伪幸运数”表达式．

设，于是

上式展开后有项，证毕．

综上，所有正整数或为“幸运数”，或为“伪幸运数”，故本题结论成立．