题目
今天的题目来自2021年基辅数学节——中文翻译
求由个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和． 是否对于任意的，均存在个不全相等的整数，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和．
题目页：数学竞赛每日一练 第3期
数学竞赛每日一练
第 3 期
先自己做，做完再点开解答对照。
揭示解答
求由个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和．
解答 设所求的个整数为，，，．记．
由题意知：，于是所有均为的根．
于是这个整数恰有两个不同的取值（由于它们不全相等）．由韦达定理可设其为和，且．
设这个数中有个，个，其中．
于是
．
即，也即
于是．
逐一代入检验得：，；，；，；，符合题意．
于是本题的答案为：
个和个或个和个．
是否对于任意的，均存在个不全相等的整数，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和．
解答 设所求的个整数为，，，．记．
由题意知：，于是所有均为的根．
于是这个整数恰有两个不同的取值（由于它们不全相等）．由韦达定理可设其为和，且．
设这个数中有个，个，其中．
于是
．
即，也即
若为素数，则
时，可得，矛盾！
时，可得，矛盾！
时，可得，矛盾！
时，可得，矛盾！
于是对于使为素数的，不存在满足题意的个正整数，故结论不成立．
解答页：数学竞赛每日一练 第3期解答
