一道来自朝鲜的离散不等式问题

之前讲过很多次这道题，今天看AoPS才发现这是2016年朝鲜的国家队选拔考试题。

题目：

求最大的实数，使得对任意正整数，和任意互不相同的正整数，均有

分析与解答：

在时，中的可以忽略不计．于是

这里用Cauchy不等式可得，但无法取得等号（为不同正整数），于是考虑使用Lagrange恒等式，并进行化简：

（注：以上放缩看似无法取等，但在时是能够接近取等的．）

不妨设，由整数的离散性知：

于是

于是时，不等式成立．

下证：，只需根据以上放缩过程，取一组，将不等式左边放大成常数．

取（为待定的自然数），注意到

于是

令，可得

于是

即，证毕．