2023年伊比利亚美洲大学数学竞赛

\section*{2023年伊比利亚美洲大学数学竞赛（第一天）}\flushright 程国根\quad 译\ex 求所有的正实数对$(a,b)$，其中$a<b$，满足：$$\sum_{k=1}^{\infty} \int_a^b\{x\}^k dx =\int_a^b\{x\} dx + \int_a^b\{x\}^2 dx + \int_a^b\{x\}^3 dx + \cdots$$收敛，并将极限值用$a$和$b$表示．\textbf{注：}$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$为$x$的小数部分．\vfill\ex 玩具制造商有$k$枚骰子，每枚骰子都有$6$个空白面．玩具制造商必须在每个骰子的每个面上写上$0,1,\cdots,9$中的一个数字．求最大的整数$n$（用$k$表示），使得对于任意正整数$r\leq n$，玩具制造商都可以选择一些骰子并用它们组成$r$的十进制表示．\textbf{注：}数字$6$和$9$是可以区分的：它们显示为$\underline{6}$和$\underline{9}$．\vfill\ex 给定一个$3\times 3$实对称矩阵$A$，定义$f(A)$为一个与$A$有相同特征向量的$3\times 3$矩阵，且若$A$的特征值依次为$a$、$b$、$c$，则$f(A)$的特征值依次为$b+c$、$c+a$、$a+b$．定义$3\times 3$的对称矩阵列$A_{0}, A_{1}, A_{2},\cdots$，满足$A_{n+1}=f(A_{n})$，$n\ge 0$．若矩阵$A_{0}$没有$0$，求最大的$j\ge 0$，使得矩阵$A_{j}$中有$0$．\vfill\newpage\section*{2023年伊比利亚美洲大学数学竞赛（第二天）}\flushright 程国根\quad 译\ex 对正整数$n$，用$\sigma(n)$表示$n$的全体正约数之和．计算：$$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{\sigma(n^{2023})}{(\sigma(n))^{2023}}.$$\vfill\ex 给定正整数$k>1$，求所有正整数$n$，使得多项式$$P(z) = z^n + \sum_{j=0}^{2^k-2} z^j = 1 +z +z^2 + \cdots +z^{2^k-2} + z^n$$有一个复根$w$，满足$|w|=1$．\vfill\ex 设$n$为正整数．定义$f(n)$为满足如下要求的有穷数列$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{k})$的个数：\begin{itemize}\item $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{k}$；\item $a_{1}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{k}^{k}\le n$．\end{itemize}求正常数$\alpha$和$C$，使得$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{f(n)}{n^\alpha}=C.$$\vfill