2023年韩国数学奥林匹克决赛第6题不等式证明

对正整数和实数，，，，，，求证：

其中，对，．

左边为积求和，右边为平方和求和，根据形式猜测可以用AM-QM不等式，进行待定系数．

设

而

于是

而

对比系数，可令，即．

故只需证明关于的不等式：

此时联想到了这种类型的几道不等式，其中比较经典的是2006年CMO第1题：

设实数，，，满足，求证：

其中条件起到了关键的转化作用，但本题并没有这一条件．

由齐次无法不妨设和为，可以不妨设和为的平移不变性在上式中也不存在．此时似乎陷入了僵局，但我们再往前看看，回到原题要证明的不等式：

将替换为，则

左边式子没有发生改变，右边显然也不会发生改变．于是原题要证明的不等式具有平移不变性，可以不妨设．

因此我们将问题转化为了：

设实数，，，满足，求证：

先利用和为的条件，将左边的平方和转化为差的平方和形式，可以想到Lagrange恒等式：

为方便书写，设，，，，．则

而，不等号反向了，于是需要对上面的放缩过程进行改进．考虑到，于是在较大时（），可用相反数来代替（即取补集），平方相等，例如．

因此

为奇数时，设，则

为偶数时，设，则

总有

即

证毕．