2023年上海市高三数学竞赛试题解答

1. 若不等式（,）对任意均成立，则实数的取值范围是_____．

答案：

2. 将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为，出现反面记为，此数与骰子的点数之积记为(例如硬币出现正面，骰子点数为，则)，那么的数学期望是_____．

答案：

3. 已知长方体中，，，是平面上一动点，且，则满足上述条件的所有的点所围成的平面区域的面积等于_____．

答案：

4. 在平面直角坐标系中，曲线有两条互相平行的切线，若这两条切线的斜率均为1，且两条切线之间的距离为8，则实数的值为_____．

答案：

5. 正整数构成一个严格增的等比数列，且满足，则_____，公比_____．

答案： ，

6. 已知曲线的方程是，若过点的直线与恰有三个不同的交点，则直线的倾斜角的取值范围是_____．

答案：

7. 给定正实数，对任意正实数,，记，则的最大值为_____．

答案：

8. 十进制六位数中，每个数码(）都是奇数，且其中出现的数码不允许相邻（例如，，满足条件，而不满足条件）则这种六位数的个数是_____．

答案：

9. 已知抛物线（）与双曲线相交于点，抛物线与双曲线的公切线分别与拋物线、双曲线相切于点、．求证：对于任意正实数，的面积为与关的常数，并求该常数.

证明：

联立，得．

设，，则熟知抛物线在处的切线方程为

双曲线在处的切线方程为

上面两个方程表示同一条直线，于是

结合，可解得

设，，则， ，，．

注意到中点，有平行于轴．

于是

因此，的面积为定值．

10. 设集合，对的子集令它对应一个数(空集对应的数）．对的所有子集，求它们对应的数的总和．

解答：

任意一个不含元素的子集，与集合一一对应，且与的元素和差，故一奇一偶．

因此，于是．

11. 给定直角，其中，，．点、、分别在边、、上，使得是等边三角形，求的面积的最小值．

解答：

考虑更一般的情况，对，设其三边长依次为、、，面积为．则的内接正三角形的最小面积为

设，则．再设的边长为，在和中，由正弦定理得：，．

又因为，故

将，，，代入上式，得：

当时，等号成立．

于是正的面积的最小值为

回到原题，将，代入得，本题答案为

12. 设为大于的正整数．求的最小值，使得存在两个正整数,，满足：,都恰有个正约数，且若将的正约数从小到大排列为（其中，），将的正约数从小到大排列为（其中，），则存在一个整数（），使得

解答：

首先由可明确，，时的情况：

注意到，．

若为偶数，则，，，矛盾．于是为奇数．

若为素数，由约数个数公式知，，、均为素数．此时的正负恒定，矛盾．

于是为奇合数，故．

下面给出构造：

取，，则，分别为

此时，，，，，，，，．

注：

本题的构造是难点，我总共花了接近半小时才完全做出来。

和都为形式的数，主要是选择恰当大小的素数，使得和的大小关系除了第个外，始终在发生改变．

思路还是用、、这三个位置的大小关系来估计素数之比的范围．读者可以自己尝试一下．