2023年马其顿数学奥林匹克

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\begin{document}
\title{2023年马其顿数学奥林匹克——中文翻译}
\author{程国根}
\maketitle
\newpage
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3049237p27469265}{\bf 1.}求所有函数$f$：$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有：$$xf(x+y)+yf(y-x) = f(x^2+y^2).$$
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3049239p27469279}{\bf 2.}设$p,q$均为奇素数，$a$为正整数，使得$p\mid a^{q}+1$，$q\mid a^{p}+1$．求证：$p\mid a+1$或$q\mid a+1$．
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3049242p27469295}{\bf 3.}在一个地精之城中，有$1000$座塔，每座塔都有$1000$层，每一层中都住有$1$个地精．城市中的每个地精都戴着一顶帽子，同一座塔中的地精帽子颜色互不相同，帽子共有$1000$种可能的颜色．如果有两个帽子颜色相同的地精，一个住在第$k$层，另一个住在第$k+1$层，则称他们是一对朋友．求朋友对的最大可能值．
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3049245p27469314}{\bf 4.}设$\triangle ABC$为不等边的锐角三角形，垂心为$H$．以$A$为圆心，$AH$的长度为半径的圆和$\triangle BHC$的外接圆交于点$T_{a}$（异于点$H$），类似定义点$T_{b},T_{c}$．求证：点$H$在$\triangle T_{a}T_{b}T_{c}$的外接圆上．
\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3049248p27469336}{\bf 5.}$n$个男孩和$n$个女孩围坐在一个圆桌边，其中$n>3$．在每一次操作中，可以交换两名相邻的孩子，以使得若干次操作后，每个孩子都至少有一个与自己性别相同的邻座．对每种初始状态，称这样的操作次数的最小值为它的\textbf{熵}．
对任意的初始状态，求熵的最大值．
\end{document}