以一道预赛题为例，谈谈猜取等条件的重要性

来看一道预赛题：

已知正数满足：，求的最小值．

先写个隐藏了思路的解答：

解答：

设，，，则条件变为：

即．

于是由元均值不等式，有

即． 因此

，，时，等号成立，于是的最小值为．

大家能否看出上面的过程是怎么得来的？

分析：

条件的不等式中，每个变量均为一次，因此可以轻松地进行消元．

由题意知：，从而，因此有．

代入后进行分离常数，使用均值不等式可以再消去一个变量．

虽然转变成单变量问题了，但这个函数非常复杂，难以求出最小值．

尽管如此，上面的过程也能帮助我们探寻本题的取等条件：

即．

仿照上面过程，以为主元，同理可得另一个取等条件：（过程略）

即．

要根据上面三个方程严谨地解出的值非常困难，但我们坚信，这类题目的取等条件往往不会太复杂，有极大的可能是整数．

另外观察到这个式子中存在平方差的结构，将其当成关于的不定方程，可以很快解出来．

，且和同奇偶，于是

解得：，，代入，同样满足，于是．

猜到取等条件之后，为了方便凑均值，将分别设为，取等条件变为了，于是就得到上面的解答．

可以看出，如果没有猜出取等条件，本题将困难不少．‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

最后留个问题，大家能猜出取等条件，并依照取等条件做出题目吗？

非负实数满足，则

的最大值为_________．