一份考前一试模拟题

{\zihao{3}\centerline{\textbf{一试模拟2}}}\noindent{\heiti 一、填空题:本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．}\vfill\ex 已知$f(n)=\begin{cases}n-3,&n\ge 1000\\f(f(n+5)),&n<1000\end{cases}$，则$f(84)=$\mtk{}．\vfill\ex 若一个正整数组成的集合中，任意两个元素之差均不为$2$，则称它为“好的”，并约定空集与任何一元集合也是“好的”．则集合$\{1,2,\cdots,16\}$有\mtk{}个“好的”子集．\vfill\ex 三棱锥$O-ABC$的三条侧棱$OA,OB,OC$两两垂直，$H$为$\triangle ABC$的垂心，$OH=d$，三棱锥$O-ABC$的内切球半径为$r$，则$\frac{d}{r}$的最大值为\mtk{}．\vfill\ex 在区间$(0,1)$中任取一个数$x$，则$[\log_{5}(3x)]=[\log_{5}x]$的概率为\mtk{}．（$[x]$表示不超过$x$的最大整数）\vfill\ex 设$P$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上任意一点，两焦点为$F_1(-c,0),F_2(c,0)$，$PF_1,PF_2$与椭圆的另一个交点分别为$A,B$.若$a^2,b^2,c^2$成等差数列，则$\frac{|PF_1|}{|AF_1|}+\frac{|PF_2|}{|BF_2|}$的值为\mtk{4}.\ex 复数$z,w$满足$|z|=|w|=z\bar{w}+\bar{z}w=1$，则$\mathrm{Re}(z+w)$的最大值为\mtk{}．\vfill\ex $AD,BE,CF$分别为锐角$\triangle ABC$三边上的高，且$9\vv{AD}+4\vv{BE}+7\vv{CF}=\vv{0}$，则$\angle ACB=$\mtk{}．\vfill\ex 已知正实数$a,b$满足$a+b=6$，则$\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}$的最大值为\mtk{}．\vfill\noindent{\heiti 二、解答题:本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．}\ex {\heiti （本题满分16分）}若二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c>0)$有零点，求$\min\left\{\frac{b+c}{a},\frac{c+a}{b},\frac{a+b}{c}\right\}$的最大值.\vfill\ex {\heiti （本题满分20分）}已知椭圆$\Gamma$：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，过点$(1,0)$的两条相互垂直的动直线的一端分别与椭圆$\Gamma$交于$P$、$Q$两点.当$\overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}$与$\overrightarrow{QF_1}+\overrightarrow{QF_2}$垂直时，求直线$PQ$的斜率．\vfill\ex{\heiti （本题满分20分）}已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n+1}=\left[\sqrt{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}\right]$，求数列$\{a_{n}\}$中所有出现超过两次的数．（$[x]$表示不超过$x$的最大整数）\vfill