2021年CMO复数题一种自然的做法

前两天有学生问到2021年CMO第一天第2题是怎么猜到答案的，这里写一个我的分析过程。

题目：

求最大的实数，使得对任意正实数，都存在复数（），满足，且

分析与解答：

首先理解题意，就是要在和这两个方程的共个复根中，保证能找到一个，满足，即虚部的绝对值较大．

这提示我们去找方程的虚根（实根的，只能为了）．

所以首先要做的是证明这两个方程中至少一个有虚根，我们知道，实系数的三次方程至少有一个实根，一定能分解为一次因式和二次因式之积，对二次因式，考虑其判别式即可．

我们先考虑方程．设其能分解为

的形式，展开后对比系数可得：

我们希望二次因式的判别式，于是先消去，将（1）（3）两式分别代入（2）可得：

第一个式子中有一个类似于判别式的式子：

若能证明，结合可知，所以我们选择证明更强的结论：（否则，的形式复杂得多）．

这需要将第二个式子中的消去，只保留，观察式子结构容易想到用均值不等式：

即．

于是

因此，为使得方程有虚根，只需．

同理，为使得方程有虚根，只需．

这两种情况必有一种发生，不妨设，则二次方程有两个虚根．

此时由韦达定理：

代入上面证明的不等式可得：

即．

因此，我们证明了是满足题意的．

接下来证明：的最大值为，只需要代一组恰好取等的即可．

由上面的证明过程可以发现，只需．更特殊地，可令．此时方程变为：

其六个根分别为两组

由知：．

综上，的最大值为．

注：

本方法没有像大多数方法一样，一来就令，让人摸不着头脑．而是从寻找虚根出发，研究需要满足的条件，相对更自然一些．