一个恒等式与一个复数不等式

昨天，单墫老师在他的公众号上发了一个恒等式．（见：强大的代数恒等式）

我在2021年5月10日发的一篇文章中介绍了这个恒等式的由来和一个应用，以下为原文章．

首先来看一个常见的恒等变形：

若将上式两端同除以可得：

将上式中的，，视作新的，，可得：

于是，只要找到和恒为的三个关于，，的轮换式，我们就可以将，，代换为这三个式子，从而得到一个三元恒等式．接下来开始寻找这样的轮换式．

事实上，我们有分式中的欧拉公式：

在或时值为，在时值为，在时值为．

这里我们取时的情形．

可令，即

同理令

在此情形下，必有恒等式

有一道复数不等式就是以此为背景而命制的：

题目 已知，，为复数．求证：

其中分母均不为．

证明 设

则

且

这与

故原不等式成立．

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