2024年中科大少创班科学营第二阶段数学试题

2024年中科大少创班科学营第二阶段数学试题

2024年4月20日上午

9:00—10:00播放学习视频

10:00—11:30测试

解答题（共5题，每小题20分，计100分）

1. 在维数组空间中，可以定义距离．
   (1)对的情形，证明是上的距离．
   (2)定义距离，，证明：是等价距离．

2. 设有限集，定义集合．在集合上定义两个元素和的汉明距离．
   (1)证明：已知正整数，则集合的元素个数为．
   (2)证明恒等式：，只允许使用第（1）问的结论．
   (3)设的子集有个元素，满足条件：（i）中任意两个元素的距离不小于；（ii）是满足条件的最大子集，证明不等式

3. 证明以下结论：
   (1)单点集是闭集．
   (2)任意个开集的并仍是开集．
   (3)有限个开集的交仍是开集．
   (4)在有理数集上定义-进距离，则不是闭集．

4. 回答下列问题：
   (1)写出柯西序列的定义．
   (2)已知和是距离空间上的柯西序列，求证：也是上的柯西序列．
   (3)设是汉明空间上的柯西序列，求证：，使得，．

5. 在有理数集上，定义-进距离．
   (1)证明：不同的-进距离互不等价．
   (2)证明：在-进距离下．