我的数论启蒙题

小学时候，我总爱摆弄各种数字。有一天，偶然发现这一神奇结论，不禁想到，还有没有与之类似的式子？很快想到了这个更为简单的式子，但是否还有呢？

这个问题困扰了我接近三年，闲暇时候就会开始思考，期间转过学，遇到过四个不同的数学老师，每次都会去问这道题，但始终没有得到解答。大约六年级时，有了足够的数论基础，我才攻克这一难题底数为偶数的版本（奇数应该还是open的）。也是在这过程之中，我对数论产生了深厚的兴趣。

今天在翻译2022年法语数学奥林匹克试题时，突然发现最后一题正是当年所想的问题（这里限制了为偶数）．题目如下：

求所有的整数，，使得是偶数，且的所有数码均相等．

具体证明过程已经记不太清了，看了看AoPS上的解答，大体上是一致的，于是决定贴上来，对自己数竞生涯的开端做个记录。

首先，设，其中和均为正整数，且．

分两种情况进行讨论：

(1)，易知只有或．

(2)，考虑模，注意到，于是

于是或．

时，若，考虑模，有

若，有，矛盾，故．然而

即，矛盾．

于是必有，故．

时，若，考虑模，有

若，有，矛盾，故．然而

即，矛盾．

即，矛盾．

时，，即，矛盾．

于是，枚举可得．

综上，满足题意的一共有组：，，，．