2022年意大利数学奥林匹克

1. 对于怎样的正整数，存在正整数满足以下条件：

• 能被整除；
• 的十进制形式只由数码和组成；
• 的十进制形式中恰有个．

2. 锐角满足．

• 为的角平分线和的交点．
• 为线段上异于的一点，且满足．
• 为线段上异于的一点，且满足．
• 为线段上的一点，且满足．

求证：的外接圆和相切．

3. 一场数学竞赛有位选手参赛．在最后的晚会上，按照顺序，第一位选手取走全部蛋糕的，第二位选手取走剩余蛋糕的，第三位选手取走剩余蛋糕的，如此进行到最后一个人，其取走剩余的所有蛋糕．
   问：哪位选手取走了最多的蛋糕？

4. Alberto选取个整数，，，（不必为正，也不必互异），并将它们放置在一个的表格中，满足在单元格中放入，其中．如下图所示（为可读性更强，用代替）．Barbara不知道Alberto选取了哪些整数，但知道Alberto的放置方式．给定正整数，，Barbara想求出的值（她对求出其余的（）的值并不感兴趣）．为此，Barbara可以问Alberto一个或多个问题．在每个问题中，她可以问某个“路径”的单元格中的所有数字之和．其中“路径”为满足如下定义的单元格列表：

• 路径从左上角的单元格开始，到右下角的单元格结束；
• 路径中的单元格均不同；
• 路径中的两个连续单元格有公共边．
  在变化时，求Barbara求出所需要的最少次数．

5. 机器人“Mag-o-matic“将个玻璃杯排成一排，按位置从到进行编号．在每个玻璃杯中，有一个球或者没有球．Mag-o-matic只接受形式的基本指令，该指令的含义为：考虑位置的玻璃杯，如果其中有一个球，则交换位置和位置的两个玻璃杯（连同它们所包含的球）．
   （这意味着，，为到之间的数字，和不同，但可以和相同）．
   “程序”为一个有限的基本指令序列，在开始时将玻璃杯和小球放置完毕，然后Mag-o-matic逐一执行．
   称子集“可辨别的”，如果存在一个程序，对任意初始情形，执行该程序后到达最终情形中，位置的玻璃杯中有一个球当且仅当包含球的玻璃杯数量为中的一个元素．
   (a)求证：若子集有奇数个元素，则其是”可辨别的“；
   (b)求所有“可辨别的”子集．

6. 设不等边三角形的外接圆半径为，内心为，内切圆和边切于点，和边切于点．为直线上一点，满足，且在和之间．为直线上一点，满足，且在和之间．和交于点．
   (a)求证：在的外接圆上．
   (b)已知，且和重合．求周长的可能值．