初级组

1. 求所有正整数，使得．

2. 在一个的表格内，Aya想要将其中个格子染色，使得恰有唯一的方法在已染色的方格内放置枚棋子，并满足任意两个棋子不在同一行和同一列．求的最大值使得Aya能实现自己的想法．

3. 在中，的角平分线和的垂直平分线交于点．过点作的平行线和交于点．过点作的平行线和交于点．直线和的外接圆再次相交于点．求证：，，三点共线．

4. 求最小的正整数，使得方程

   有唯一解．

高级组

1. 求所有函数：，使得对任意，，都有．

2. 为了连接到OFM站点，Alice必须选择一个密码．密码由如下个字符中的个组成：

称一个密码是冗余的，如果能将密码中的连续若干个字符染成红色和蓝色，使得红色字符与蓝色字符相同．例如：密码H#ZBZJBJZ是冗余的，因为它包含ZBZJBJ字符段，其中ZBJ既出现在红色字符中，又出现在蓝色字符中．而密码ABCACB不是冗余的．
求证：对任意正整数，存在至少个非冗余的长度为的密码（即每个密码都由个字符组成）．

3. 设的外接圆为，在点处的切线为．圆同时和直线，，相切，且和直线切于点．圆同时和直线，，相切，且和直线切于点．设、分别在线段、上，两圆、均在外．求证：．

4. 求所有的整数，，使得是偶数，且的所有数码均相等．