几个不等式的证明

题目1 （2021年西班牙数学奥林匹克） 实数，，，满足

分析 最大值很容易得到，让四个数的绝对值均相等即可．最小值一定为负，故在，，，三正一负或一正三负时取得，而这两种情形本质是一样的，于是不妨设为三正一负，将负数用三个正数表示，可变为一个常见的三元条件不等式．

解答 首先由“几何-平方平均值不等式”得：

即

即，，，为，，，的任意排列时，等号成立．故最大值为．

，，，中有偶数个负数时，的值为负数；有时，的值为；有三负一正时，将每一个数均改为其相反数，此时仍然满足题目条件，且的值不变．因此只需考虑三正一负的情形，不妨设，．

于是

即．

当且仅当，，，为，，，或，，，的任意排列时，等号成立．故最小值为．

题目2 （改编自第四届XMO第二题）实数，，，满足

分析 用，，，代替，，，后，本题变为：

题目2' 非负实数，，，满足

证明 由均值不等式：

故只需证明：

而

接下来用调整法容易证明，上式在时取得最大值．在此略去．

类似地可以推广为元形式：

题目3 实数，，，满足

证明方法同上．