2022年波罗的海之路数学竞赛

1. 函数：满足对任意，都有，．求的所有可能值．

2. 自然数列满足，且对任意，．求的值．

3. 称二元多项式是“秘密单变量”的，如果存在多项式和，满足，（例如：和都是“秘密单变量”的，而不是）．
   证明或证否以下结论：若多项式满足和均能写为两个非常数多项式之积，则为“秘密单变量”的．
   注：本题中所有多项式均为实系数多项式．

4. 正实数，，满足．求证：

   

5. 求所有函数：，满足，且对任意实数和，都有

   

6. Mattis正在举办一场有名球员参加的羽毛球比赛，有个球场，编号从到，每个球场有名球员．在每一轮比赛中，每个球场都会决出一个赢家．之后，在号球场输掉比赛的选手和在号球场赢的选手保持原位．对于剩下的名选手，号球场的胜者移到号球场，败者移到号球场．然后进行下一轮比赛，直到每个选手至少与其他选手交手一次．至少要持续多少轮比赛？

7. 作家Arthur有个与他一起写书的合著者．每本书都有一个包括Arthur本人在内的作者名单，没有两本书的作者是完全相同的．在一次与所有合著者的聚会上，每个合著者都在纸条上写下了他们所记得的与Arthur一起写过的书的数量．检查纸条上的数字，他们发现写下的数字是前个斐波那契数（由和定义）．求所有的正整数，使得存在所有合著者写下的数字均是无误的可能．

8. 对正整数，在一个不自交的边形（不一定是凸的）中作条内对角线，将这个边形分割成个三角形．已知这些三角形所有内角的度数均为整数（单位为），且任意两个内角度数均不相等．求的最大可能值．

9. 五位长老正围坐在一个大篝火旁．他们知道Oluf会把四种颜色（红、绿、蓝、黄）中的一种帽子戴在每个长老的头上，经过短暂的沉默思考后，每个长老必须在一张纸上写下这四种颜色中的一种．每位长者只能看到他们两个邻居的帽子的颜色，不能看到自己帽子的颜色，也不能看到其余两位长者的帽子的颜色，而且在Oluf开始戴上帽子后，他们也不能交流．
   证明：长老们可以提前设计一个策略，使最多两个长老最终写下自己帽子的颜色．

10. 称自然数包含在自然数中，如果可以通过擦除中的一些数字（在它们的十进制表示中）来获得．例如，包含在中，但不包含在中．
    是否存在一个无限大的自然数集合，使该集合中的任何数字都不包含在该集合的任何其他数字中？

11. 设的外接圆为，外心为．以直线上一点为圆心，且过点、的圆和的另一个交点为．以直线上一点为圆心，且过点、的圆和的另一个交点为．求证：平行于．

12. 锐角的三条高为、、（、、分别在边、、上）．为线段内部一点，设和的外接圆和的另一个交点分别为和．求证：．

13. 为圆内接四边形，，．、分别为边、上点，满足，．记的中点为，求证：．

14. 设锐角的外接圆为，外心为，中点为．设和的另一个交点为，过作的垂线与的另一个交点为．设和交于点，为的外心．求证：的外接圆过的中点．

15. 为圆上的两个定点．对于上第三个点，设在上的射影为，在上的射影为．求证：存在圆，使得不依赖于在上的位置，始终有和相切．

16. 求所有函数：，使得对于任意，，都有

17. 设为正整数，满足的所有正约数之和不小于．求证：至少有个不同的素因子．

18. 求所有正整数对，满足，且对任意正整数，都有

    

19. 求所有三元非负整数组，使得

20. Ingrid和Erik正在玩一个游戏．对于一个给定的奇素数，在黑板上写有数字，，，，．两人轮流执行操作，由Ingrid开始．在每次操作中，由其中一个玩家擦去黑板上一个剩余的数字，如果操作后所有被擦去的数字之积模的余数为，那么本次操作的一方就可以得到分，否则就得分．在所有数字都被擦去后，游戏结束．
    在游戏结束时，得到最多分数的一方获胜．如果双方得分相同，游戏以平局结束．对于每个，确定哪个玩家（如果有的话）有获胜的策略．

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