第一天

1. 一个单人游戏的规则如下：起初，有堆石子，每堆各有枚石子．每次进行以下操作之一：
   (i)选择两堆石子数不少于的石子，将它们合并，并在新石堆中再放入枚石子；
   (ii)选择一堆石子数不少于的石子，从里面取出枚石子，再将它分成两堆，每堆的石子数由玩家决定．
   当无法执行任何操作时，游戏结束．证明：不论之前怎么执行操作，在游戏结束时，总有两堆石子数量相同．

2. 在锐角中，．设为外接圆上弧（不含点）的中点，为边的中点．、分别为的所对的旁心、所对的旁心．点为关于的对称点．求证：、、、四点共圆．

3. 设为整数列．对任意非负整数，记，．称数列是”爱国“的，若存在正整数、，使得对任意非负整数，都有．确定并证明：是否存在一个数列，满足使该数列为“爱国”的的最大值为．

第二天

4. 起初，黑板上写有一个自然数．每一分钟，内马尔选取的一个约数（），擦去，然后写上．如果开始黑板上的数为，那么内马尔永远无法在黑板上写出的最大合数是多少？

5. 设为一个正整数．定义为满足如下条件的最小正整数：，，并且不存在正整数使得且．证明：存在一个实常数和一个正整数，使得对于所有，都有．

6. 方格网中的一些单元格被涂成了蓝色．称一组六个单元格为“天才”的，如果它们是三行两列或两行三列的交集，并被全涂成蓝色．确定的最大值，使得有可能方格网中的格涂成蓝色，而不存在一个“天才”集．