2023 年中国台湾 IMOC数论组
公众号原标题：2023 年中国台湾 IMOC数论组——中文翻译
每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。
2023年中国台湾IMOC
程国根 译
数论组
1. 求所有正整数$k$，满足：存在有限个正整数$n$，使得$xn+1\mid n^{2}+kn+1$的正整数解$x$不唯一．
2. 求所有正整数对$(a,b)$，使得$a^{b}+b^{a}=a!+b^{2}+ab+1$．
3. 求所有函数$f$：$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得对任意正整数$a$，$b$，都有$$f(a)+f(b)+ab \mid a^2f(a)+b^2f(b)+f(a)f(b).$$
4. 求所有函数$f$：$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得对任意正整数$a$，$b$，$af(a)^3+2abf(a)+bf(b)$都是一个完全平方数．
5. 设$p=4k+1$为素数，$|x|\le\dfrac{p-1}{2}$满足$\binom{2k}{k}\equiv x \pmod p$．求证：$|x|\le 2\sqrt{p}$．
6. 记$S(b)$为满足$3b-1=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$和$b^{2}+1=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{9}^{2}$的九元有序数组$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{9})$的个数．求证：对任意$\varepsilon>0$，都存在$C_{\varepsilon}>0$，使得$S(b)\le C_{\varepsilon}b^{3+\varepsilon}$．
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\section*{2023年中国台湾IMOC}\flushright 程国根\quad 译\section*{数论组}\setcounter{ex}{0}\ex 求所有正整数$k$，满足：存在有限个正整数$n$，使得$xn+1\mid n^{2}+kn+1$的正整数解$x$不唯一．\vfill\ex 求所有正整数对$(a,b)$，使得$a^{b}+b^{a}=a!+b^{2}+ab+1$．\vfill\ex 求所有函数$f$：$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得对任意正整数$a$，$b$，都有$$f(a)+f(b)+ab \mid a^2f(a)+b^2f(b)+f(a)f(b).$$\vfill\ex 求所有函数$f$：$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得对任意正整数$a$，$b$，$af(a)^3+2abf(a)+bf(b)$都是一个完全平方数．\vfill\ex 设$p=4k+1$为素数，$|x|\le\dfrac{p-1}{2}$满足$\binom{2k}{k}\equiv x \pmod p$．求证：$|x|\le 2\sqrt{p}$．\vfill\ex 记$S(b)$为满足$3b-1=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$和$b^{2}+1=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{9}^{2}$的九元有序数组$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{9})$的个数．求证：对任意$\varepsilon>0$，都存在$C_{\varepsilon}>0$，使得$S(b)\le C_{\varepsilon}b^{3+\varepsilon}$．\vfill
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