绝对值不等式：三角不等式与结构方法
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三角不等式 是绝对值问题中最常用的估计；在数轴上可写成 ．题目中的零和、排序、差分、分段和循环条件，往往用来决定怎样合并这些绝对值，或者使估计尽量接近等号．以下分七节讨论，共选十九个例题．
1 三角不等式
使用三角不等式时，等号条件常和估计本身一样重要．合并若干实数时，取等要求非零项同号；在 中，取等要求 位于 之间．
1.1 配对与整体合并
例 1（1995 年莫斯科数学奥林匹克 11 年级第 1 题）
对任意实数 ，证明
分析：记 、、．三个式子满足 、、．
不用讨论 各自的符号，只需两两配对： ，另外两组分别给出 和 ．三式相加后，都出现两次，约去公因子即可．
证明：由三角不等式，
三式相加，右边原来的三个绝对值各出现两次，约去 即得证．
例 2（零和条件下的最佳常数）
对每个整数 ，求最大的常数 ，使得对任意满足 的实数 ，都有
分析：左边是 ，右边是全部两两距离．固定一个下标 ，先看 ．三角不等式给出
由 ，右边等于 ．
再对 求和．每个无序数对 在双重求和中出现两次，所以得到常数 ．这一步只说明 可以取；还要给出取等构造，才能证明它是最大值．三角不等式取等要求同一组中的差同号，因此可从两层取值的数列着手．
解答：对每个 ，
对 求和便有 ，故 ．
当 时取
则总和为 ，且两边比值恰为 ；时取 同样取到．因此
1.2 根式中的三角估计
例 3（2023 年中国国家集训队选拔题）
给定整数 ．求最小实数 ，使得对任意实数 ，恒有
分析：令 ，并记 ．这样左边的 变成 ，剩下的是用 和 表示 ．
由 以及 ，整理得
先用三角不等式，再用 ，便能把 控制在 和各个 之下．对 求和后，每个 的总系数相同，所求常数随之确定．
检验最佳性时，可先令 ，使含 的部分消失，再按其余各步的等号条件安排 ．
解答：答案为
令
对每个 ，
由三角不等式以及 ，
对 求和，
除以 即得该常数可行．
再取
此时 ，并且
故任何可行常数都不小于上面的 ，故该常数不能再小．
2 零和条件与正负分解
若 ，设正项之和为 、负项绝对值之和为 ，则 ．许多零和问题由此化为两个非负数组的极值问题．
2.1 固定正负总量
例 4（平均数与绝对偏差）
已知 个实数 的算术平均数为 ．证明
分析：令 ．由于 是平均数， ．设正的 之和为 ，负的 的绝对值之和为 ，则 ，并且 ．
对非负数有 ，所以正、负两组的平方和至多为 ．代入 即得所需不等式．
等号要求两组都把总量集中在一个位置上，因此高于平均数和低于平均数的项各至多有一个非零偏差．
证明：令 ，则 ．设正的 之和为 ，负的 的绝对值之和为 ，于是
正、负两组分别有 、，所以
代回 即得结论．等号成立当且仅当正的 至多有一个、负的 至多有一个；等价地，高于平均数与低于平均数的项分别至多有一个．
2.2 离散极值与取等
例 5（2025 年沙特阿拉伯数学竞赛第 3 题）
设
求
的最小值，并求
的最大值．
分析：由 、，正项之和与负项绝对值之和都等于 ．设负数有 个．
求极差时，最小项的绝对值至少为 ，最大项至少为 ，所以 得到一个只含整数 的下界．比较 即可求最小值．
求乘积时，若最大乘积为正，必须为偶数．固定 后，正、负两组的总量都已固定；均值不等式表明，同组各项绝对值相等时乘积最大．余下只需比较各个允许的偶数 ．
解答：设负数有 个，则
因此
当
时取等，所以
下面求乘积．已有正值构造，因此最大值必为正；含零项时乘积为 ，负数个数为奇数时乘积为负，均不可能最优．故只需考虑负数个数 为偶数的情形，记 ．分别对负项绝对值与正项使用均值不等式，
在 下，右端等价于使 尽可能小．函数
在 上严格凸，并关于 对称；限制 为偶数后，最优为
于是
取前 项全为 、后 项全为 即可取等，故
3 排序与两两距离
含有大量 时，先排序 ．于是
两种写法分别适合直接比较变量和比较相邻间隔．
3.1 距离和的线性化
例 6（2024 年罗马尼亚 IMO 队选）
固定整数 ．对不全相等的实数 ，记
求 的最小值与最大值．
分析：不妨排序为 ，并记 ．直径为 ．
计算总距离时，固定一段间隔 ．只有一个点取在前 个位置、另一个点取在后 个位置时，这段间隔才会被计入，共有 个数对．因此
于是 是各个 关于非负权 的加权平均．上下界分别由这些系数的最小值和最大值给出；取等时让非零间隔落在相应位置即可．
解答：不妨设 ，并令 ．则
而
因此
把全部跨度集中在第一段可取到下界；集中在中间一段可取到上界．故
例 7（区间内两两距离的上界）
设 为正整数，且 ．证明
分析：排序后有
系数随 递增，前半部分为负，后半部分为正．又有 ．
要使这个线性式最大，负系数对应的变量取 ，正系数对应的变量取 ；这样的取值与排序条件相容．因此极值可在端点配置中取得．分别把 为偶数、奇数时的正系数相加即可．
证明：不妨设 ．则
系数 随 递增．因此最大值在前半部分取 、后半部分取 时出现．
若 ，最大值为
若 ，最大值为
故结论成立；事实上奇数情形还可加强为 ．
3.2 前缀和与交叉配对
例 8（正整数的“自距离”条件）
设 为正整数，并且对每个 都有
求 的最小值．
分析：先排序 ．第 个数到左侧、右侧各点的距离都能用前缀和表示．记 、，整理第 个条件可得
比较相邻的第 、个方程，前缀和只差一个 ，大部分项相消，得到
因此除 外，其余相邻项都相等，数列只能由两段常值组成．代回原条件即可确定两段之间的关系．
解答：不妨设
记 ，．题设化为
即
把 换成 并用 ，得到
于是
除 外，其余相邻项全部相等．又因所有 均为正整数，若两段取同一数值，则题设右端恒为 ，与左端为正矛盾；因此确有两段不同的常值．故可写成
代回题设，分别得到
令 ，则 为正整数，且
因此
最小值在 时取得，即
例 9（两组互异整数之间的距离）
把 个互不相同的整数分成两组 与 ．证明
分析：分别排序 、．右边含两组内部距离，因此对每个 ，用两条交叉距离 和 与之比较：
对所有 求和后，两组内部距离已全部被控制．
左边还剩下 这些对角项．由于 个整数互不相同，每个 ，余下各项之和至少为 ．
证明：分别排序为 、．对 ，
相加得到
对所有 求和，再补上 ，便有
所有 个整数互不相同，所以 ．故结论成立．
4 差分与递推换元
相邻项或二阶差分出现时，常令 ．这样，跨度 是一段连续差分的和，二阶差分也变成相邻 的差．若绝对值内部已有递推关系，也可直接把内部量设为新变量．
4.1 一阶差分
例 10（差分写法）
设 ，．证明
分析：令 ．则 ，左边可以完全改写成 的式子．
由三角不等式，
全部相加后只有平方项 和交叉项 ．对交叉项使用 ，最后统计每个 一共出现多少次．这个计数给出系数 ．
证明：记 ．于是 ，故 ，从而
再用
所有交叉项一共给每个 增加 的系数，因此
4.2 二阶差分
例 11（2017 年东南数学奥林匹克第 4 题）
设实数 满足
求
的最大可能值．
分析：令 ．题设化为 ，而 又给出 ．任意跨度 都是一段连续 的和．
设这段有 项，和为 ；补集的和就是 ．两段平均值分别为 和 ．它们的差可写成跨越两段的 的平均，而 ．
于是问题化为一个下标计数：跨越两段的 的平均是多少．计算后得到 ，再在允许的 中取最大值．
解答：记 ，并令
则
任取 ，设
并记
若 ，交换 后只需估计 ，故以下设 ．由 (1)，补集 上的和为 ．因此
又由 ，
若 ，右端分子等于
代入 (2)，得到
所以
取
则 ，且 ．令 ， ，便有 ，并且
故所求最大值为
4.3 递推换元
例 12（2023 年保加利亚数学奥林匹克第 5 题）
设实数 满足 ．求
的最小值．
分析：把绝对值内部设为
并记 ．两者满足 ，即 ．
这个递推可以逐步写出 ，继而写出 ．系数按 增长，所以三角不等式给出
由于已知 ，由 便得到目标式的下界．取等时可令 非零、其余 为零．
解答：当 时结论显然．以下设 ．令 ，，以及
于是
因此
取绝对值并对 求和，
由题设 ，得到
故所求式不小于该值．
令
由上面的递推式得到
此时 ，且目标值为 ．故最小值为
5 分段线性与符号化
绝对值函数在相邻折点之间是线性的．处理这类问题时，可以比较各段斜率，也可以先固定符号；含有最大值时，还可用
改写成统一的代数式．
5.1 折点与斜率
例 13（2003 年 AMC 12B 第 24 题）
正整数 ，方程组
恰有一组解．求 的最小值．
分析：令 ，再与直线 比较．函数 在四个区间上的斜率依次为 ，因此
的斜率依次为 ．
所以 在 时严格递减，在 时严格递增，最低点在折点 ．方程组恰有一个解，当且仅当这个最低点等于 ，即 ．由此得到 ，余下只需处理正整数条件．
解答：写成分段形式：
令 ．在四个区间上，的斜率依次为 ，因此 在 上严格递减，在 上严格递增． 方程组恰有一组解，当且仅当 ，即 ，所以 ．由于 且 为正整数，必有 ． 取例如
便有 ，且其余处 ，所以确实只有一个交点． 故
5.2 区间定号
例 14（2018 年亚太地区数学奥林匹克第 2 题）
设
证明：当 且 不是整数时，
分析：把两式作差：
写 ，其中 、，则各分母的符号都已确定．乘以 后，离 最近的两项为 与 ，其和至少为 ．
其余项分成左右两条绝对值递减的交错和．每条交错尾项都大于它的第一个负项，因而分别大于 ．所以两条尾项的总损失小于 ，而最近两项之和至少为 ，所求差严格大于 ．
证明：记
写 ，其中 、．则
第一条尾项从 开始，且绝对值递减，所以
若 ，该和为 ，结论同样成立．第二条尾项同理满足
又有
因此
从而
5.3 正负部与最大值
例 15（2024 年土耳其 IMO 队选第 6 题）
求最小实数 ，使得对任意整数 及任意实数 ，在下标按模 理解并定义
后，恒有
分析：令 ．最大值 只取决于 的符号，于是引入
这样 、，所有最大值项都可统一表示．化简得
对 2024 次幂先用凸性，再利用 与 异号，得到 ．循环求和后， ，于是 可行．
证明最佳性时，取很长的 、差分段，只有少数交界处不能取等，便能使所需常数逼近 ．
解答：记 ，并令 ， ， ．则 ，并且 、 ．由最大值公式可化得
因此
由于 与 异号，
对 循环求和，
由于 为偶数，故 可行．
另一方面，取偶数 ，令循环差 的前 项为 、后 项为 ．这些差的和为 ，因此确能由某个循环数列 产生．除至多四个交界位置外， ，于是任何可行常数都满足
令 ，得 ．故
6 循环结构与奇偶性
循环排列还要满足首尾相接的条件．差分的符号、正负交错能否闭合，都可能随奇偶性改变．若三点单调，则 ，奇数循环中的删点正是利用这一等号情形．
6.1 变号位置
例 16（2025 年日本数学奥林匹克）
设整数 ，实数 满足 ．求
的最小值．
分析：记 ．题设给出 ．另一方面，
所以若有 ，便可用 得到两条相邻边的平方和至少为 ．
把序列补成 ．首尾异号，而各项绝对值都不小于 ，途中必有一对相邻项异号．这一对的距离至少为 ，所需位置由此得到．
解答：记 ，并令 ．每个 ，而 异号，故存在 使 异号．于是
又
由
得到
其余平方项非负，所以原式至少为 ．取
恰有原式等于 ．因此最小值为 ．
6.2 奇偶交错与删点
在后两题中要用到下面的事实．
引理：设 为奇数，实数 按圆周排列，下标按模 理解．则存在某个 ，使 或 ．
证明：令 ．若某个 ，结论立即成立．否则，若不存在这样的三项，则每个 与 都异号，所以 的符号沿圆周严格交替．但 为奇数，首尾处不可能仍保持异号，矛盾．
若 单调，则三角不等式取等：
因此在循环总变差中，可以删去中间项而不改变这两条边的总长度．
例 17（循环总变差的最大值）
设整数 ，实数 满足 ．求
的最大值．
分析：先处理偶数 ．逐边使用 ，求和得
取等时，相邻项需异号，且各项绝对值相等；偶数个位置可以正负交错，因此上界能够达到．
若 为奇数，正负严格交错时，奇数个位置无法首尾相接．圆周引理给出相邻三项单调，删去中间项时 ，循环总变差不变．删去一项后剩下偶数个变量，且平方和不超过 ，故由偶数情形得到 ．取一项为 ，其余等模交错，即可取等．
解答：若 为偶数，则
取
可取等．
若 为奇数，由引理可重新编号，使 位于 与 之间．于是
删去 后，就是 个数的循环总变差．由偶数情形，
取 ，其余 项交替取 ，可达到上界．故
例 18（2022 年高中联赛 B 卷二试第 2 题）
设整数 ，给定正数 ，且 ．求
的最大值．
分析：先建立二元估计．对 ，
偶数 时，对所有相邻对求和，每个 在右边出现两次，得到所需上界；令 交错即可取等．
奇数 时，不能在圆周上完全交错．由圆周引理删去一个位于两邻点之间的变量，分子保持不变，剩余变量个数变为偶数．对剩余循环使用上面的二元估计，再把被删变量至少为 、每条边至多为 代入，即可得到奇数情形的上界．
解答：记
对任意 ，有
若 为偶数，对所有相邻对使用 (1)，得
故
取 交错即可取等．
若 为奇数，由引理可删去一个位于两邻点之间的 ，分子保持不变．记删去后的分子为 、其余 项之和为 ．对这 个数应用偶数情形，
同时，删去后只有 条边，每条长度不超过 ，所以
原分母至少为 ，从而
右端随 增大而增大，代入 ，得到
取 个 与 个 ，尽量交错，使圆周上只有一对相邻的 ，即可取等．因此
7 平移与折点
若一边只含 ，共同平移所有变量不会改变它；含 的另一边则随平移量变化．把平移量作为参数，折点处常会出现零项或相反数对，从而可以删项归纳．
7.1 折点与删项
例 19（2021 年国际数学奥林匹克第 2 题）
设 为正整数．对任意实数 ，证明
分析：左边只含 ，共同平移 不会改变它．因此把右边写成
并选择使 最小的平移量．
的折点为 ．在两个相邻折点之间，各项的符号固定，而 为凹函数；因此 在该区间的最小值只能出现在端点．最左、最右两个区间再看单调性，可知全局最小值在某个折点取得．
在这个折点平移后，存在 ．若 ，出现一个零变量；若 ，出现一对 ．删去这个零变量或这对相反数时，左右两边减少的量相同，于是把问题降到 或 个变量，再用归纳假设．
证明：记
对 归纳．约定 时两边都是空和 ；时结论显然．以下设 ，并假设结论对较少变量成立．
共同平移所有变量不改变 ．固定 ，令
只需证明 ．
的折点组成有限集合
在 的每个区间内，所有 的符号固定，而 为凹函数，故 也为凹函数；两个相邻折点之间的最小值只能在端点取得．在最左侧区间，随 向右递减；在最右侧区间，随 向右递增．因此 的全局最小值在某个折点 取得．
令 ．则 、，并存在 使 ．下面删去相应变量．
若 ，则 ．删去 ，其余 个变量记为 ．所有含指标 的项在左右两边相应各项之和都为 ，故 ．由归纳假设 ，得到 ．
若 ，写 、，删去这两个变量，其余 个变量记为 ．左边所有含 或 的项之和为
右边中，给出 ，为 ；对每个 ，四个混合项给出的仍是 ．因此 ．再由归纳假设得到 ；当 时，为空组，正是约定的 情形．
于是
即
证毕．
前面的十九个例题分别使用了上述方法，下面把常用变形和取等条件作一番整理．
8 方法总结
8.1 三角不等式
基本形式是
若题目中有若干相近的线性式，可先尝试配对或分组，使合并后的式子只剩少数变量．若出现许多形如 的项，也可固定一个下标，先对一组距离求和，再整体使用三角不等式．
在数轴上，
表示两点间的直线距离不超过经过 的两段距离之和．适当选择 ，常能同时估计许多距离．
取等条件必须一并检查．实数相加的三角不等式取等时，参与合并的非零项同号；上面的距离式取等时，位于 之间．最佳常数和循环问题中，这些条件常直接决定等号结构．
8.2 零和条件
若 ，正项之和记为 ，负项绝对值之和记为 ，则
平方和、乘积、极差等问题都可分成正、负两组处理．固定非负数总和后，平方和在总和集中于少数项时较大，乘积在各项相等时较大；极差则可由两组平均值估计．
使用组内不等式后，还要检查等号条件．例如 取等时至多一个 非零；均值不等式取等时同组各项相等．
8.3 排序与两两距离
若有大量 ，可先设 ．此时
第一式适合带区间约束或固定总和的题；第二式适合研究直径、相邻间隔和总距离之间的关系．
若条件本身也是距离和，可再引入前缀和 ，把第 个条件写成线性方程，然后比较相邻两式．
两组变量分别排序后，还常用交换不等式：若 、，则
它表明一维距离中同序配对不会比交叉配对更差．
8.4 差分与递推
出现相邻差或二阶差分时，令 ．跨度 变成一段连续 的和，二阶差分则变成 ．若有 的上界，可进一步得到 的估计，再控制连续区段的和．
有些题的绝对值内部本身满足递推关系，这时可把内部量设为新变量，再逐步写回原变量．要留意各步系数怎样变化，以及展开后是否有前后项相消或等比系数出现．
8.5 分段线性
绝对值函数在相邻折点之间是线性的．对 ，可先排序折点并计算各段斜率；含分母时，先确定 所在区间，使各项符号固定；含有最大值、最小值时，可使用
或
改写成统一的代数式．
计算时记录折点、各区间的符号或斜率，并注意经过折点时哪一项改变符号．
8.6 循环结构
循环排列还要满足首尾相接．若某个量沿圆周从 走到 ，途中一定出现变号；若取等要求正负严格交错，则偶数个位置可以首尾相接，奇数个位置不能．
奇数循环中，若相邻三项单调，则
删去中间项不会改变这两条边的总长度，因此常可把奇数情形化为偶数情形．
8.7 平移与折点
若表达式的一部分只含 ，共同平移 不会改变这一部分．把另一部分记为参数函数 ，再研究它的折点、单调性或凹凸性．
若 在相邻折点之间为凹函数，最小值只能落在折点．折点常对应某个变量为 ，或出现一对互为相反数的变量；删去这些特殊变量后，便可继续归纳．
9 提高练习
以下十题均为竞赛真题，其中前四题选自国内竞赛．建议先独立完成，再查阅后面的提示．
2009 年 CMO 第 4 题给定整数 ，实数 满足
求 的最小值．
2010 年全国高中数学联赛一试第 9 题已知 ，且 时 ．求 的最大值．
2023 年中国女子数学奥林匹克第 8 题对平面两点 定义 ． 设 两两不同，记
证明 ，并构造 的一组点．
2019 年中国西部数学邀请赛第 4 题给定 ．求最小实数 ，使任意 都可选 ，满足任意 都有
2016 年 IMO 预选题 A2设 为正实数．求最小实数 ，使总能选出互不相同的 ，满足
2003 年 IMO 第 5 题设 ．证明
并确定等号情形．
2007 年 IMO 预选题 A1给定实数 ，令
证明
1997 年 IMO 第 3 题实数 满足 、．证明存在一个排列 ，使
2015 年 IMO 预选题 C5正整数序列 ，且 时 ．证明存在正整数 ，使任意 都有
2016 年 IMO 预选题 A3求所有 ，使得：任给实数 满足 ，总能取 ，使
10 提高练习提示
排序为 ，则相邻差都不小于 ．先说明极小情形中相邻差应全部等于 ；于是只剩下把一串连续整数整体平移，使 最小．奇偶两种情形分别以 或 为中心．
只取三个点的导数值：
先用 得上界，再检查 能否取到这个界．
作线性变换 ，则
把最小距离归一化为 ．若最大距离小于 ，所有点落在边长小于 的正方形中；分成 个小方格即可计数．等号构造从 的整数格点中取点．
令 、， 则区间误差等于 ．考察 的小数部分在单位圆周上的位置，取最大空隙作切口；令 ．下界可取 ．
将 排序，考察
它们都在 内．把区间分成两个等长部分，并注意适当两项所用的四个下标互不相同．
排序后
令各 减去平均数，再对 与新的 使用柯西不等式．等号要求 关于 为线性函数．
取 ，使 、且 ．由 得下界．构造可试
对排列 记 ．交换相邻两项时，的改变量绝对值不超过 ．比较一个排列与其逆序排列，并使用
画有向边 ．每个正整数至多有一条入边，每条边长度不超过 ．把没有入边的点作为有向链的起点，先控制链的条数，再比较每条链跨过区间 时的两个相邻点．
先用构造排除偶数 ．对奇数 ，可同时改变 的符号使 ，再按 递减排列，取 ，分别整理 与 两段的交错和．
留言
解法、疑问、勘误都可以说。公式用 LaTeX：行内
$…$，整行$$…$$。留言区还没开。想聊这道题，可以点上面的「在公众号查看原文」，到公众号那边留言。