一道三角不等式的若干解法

题目 在非钝角三角形中，求证：

这个不等式可以由Karamata不等式（优超不等式）直接得到，我们先进行简单的介绍与证明．

定义两个数组：

其中

及

其中

若

且，，，． 则称数组优超于数组，记作．

Karamata不等式 若数组优超于数组，为一个下凸函数，则

若为上凸函数，则不等号反向．

证明 令，则，．

由Abel变换得

其中由下凸函数的性质：

回到原题，我们有如下方法．

方法一

不妨设，易知

且在上为上凸函数．

由Karamata不等式：

注意到上式无法取得等号．于是有

虽然方法一直击本质，但我还是希望有一种简洁的三角证明方法．在将Karamata不等式的证明过程套用过来后，我们有了方法二．

方法二

由知，于是

同理有． 于是

方法三由郑志远同学提供，其中将非钝角三角形这一条件转化为十分巧妙．

方法三

由为非钝角三角形知． 于是

接下来还是我最喜欢的代数不等式环节．

方法四

令，，，则，．

由万能公式

同理

去分母之后，只需证明

注意到

以及

即要证明

由可得

而

最后给出这个三角不等式的几何意义．

方法五

由是非钝角三角形知其外心在三角形内部（包含边界）．

记，，的中点分别为，，，外接圆半径为．则

这是一个简单的几何不等式，证明略．