数论
421 字
韦达跳跃(Vieta Jumping)的几道例题
昨天转载有关韦达跳跃（Vieta Jumping）的几篇文章，今天再补充几道题目．
题目1 （年IMO第题） 设正整数，满足．求证：为一个完全平方数．
分析 这是韦达跳跃这一技巧首次在大型竞赛中出现，本题被认为是当年最难的题目．有关本题的介绍可见：这是一道难倒了49个国家领队外加4个专家的竞赛题，抢了当年12岁获得IMO金牌陶哲轩的风头，堪称数学竞赛史上最传奇的一道题
证明 设，则
因而是不定方程的一组（整数解）．如果不是完全平方，那么上述方程的整数解中，、均不为，因而
于是，即，也即，同号．现在设，是上述方程的正整数解中，使为最小的一组解，且．那么是方程
的解．由韦达定理，此方程的另一个解是
是整数，而且也是不定方程的一组（整数解）．所以和同为正．但由韦达定理与为最小矛盾．这说明一定是完全平方．本题还有以下两个推广：
推广1 设正整数，满足．求证：．
推广2 设正整数，，满足
求证：为完全平方数．题目2 (年IMO第题)设与为正整数．已知整除，证明：．
题目3 （年清华大学“大中衔接”第题）设整数．证明：至多只有有限多个正整数，使得方程
注：这几题网上都能找到解答，我就不另外抄一遍了．
在公众号查看原文 ↗
点公式可复制源码
留言
解法、疑问、勘误都可以说。公式用 LaTeX：行内
$…$，整行$$…$$。留言区还没开。想聊这道题，可以点上面的「在公众号查看原文」，到公众号那边留言。