证明两多项式相同的几个方法

前几天讲多项式时，我问了学生一个问题：最少通过几次整数赋值，能够证明两个整系数多项式和相同？

这个问题有些宽泛，因为还不知道这两个多项式的其余信息，比如最高次数，系数的分布情况等等。

如果已知这两个多项式的最高次数，则答案显然为其中较大的那个再加．

而如果已知这两个多项式系数的上下界呢？事实上，只需要一次就可以了。(读者可以先自行思考如何做到)

我们来考虑应该赋怎样的整数值，才能做到一次就能证明这两个多项式相等。容易知道，所赋的值应该会比较大，因为如果，则非零多项式，其在时也会趋于无穷．这样，当我们赋足够大的时，总会让．

这就产生了以下的问题：

设和都是整系数多项式．证明：的充要条件是存在一个整数，使得，这里比、的任意一个系数的绝对值的两倍都大．

证明： 设

其中，． 必要性显然，下证充分性．

若存在，使得

不妨设，则有

其中，(若，定义)，．

由题意知

由整数的离散性知：．

于是

只能有，即．这得到了和的次数和首项系数均相同．

接下来，在等式两边减去，进行同样的操作，即可得到，……，．于是，证毕．

如果我们对和的系数作进一步限制，让其均为非负整数，将有一个更有意思的方法．

第一步，令，得到与的值，此即为和的系数之和．我们有和的每一项系数均小于．

第二步，令，若，则和相同．

提示： 这可以从和在进制下的表示唯一而得．

并且由此方法，我们也能通过两次赋值，直接得到非负整系数多项式的各项系数．

最后抖个机灵。

如果不要求赋值为整数，并且保证给出的多项式值都是精确值的话，还可以令．这样多项式值就被整整齐齐地排列成

的形式了．

这是因为是超越数，其不是任意整系数多项式的根．故的表达式无法得到任何化简．