2026年韩国数学夏令营

高级组

P1

给定两两互质的正整数 ．若

证明：除以 所得的余数不可能为 ．

P2

设正实数数列 对每个正整数 都满足

若 ，证明：对于任意实数 ，都存在正整数 ，使得

P3

设 为三角形 的内部一点，为三角形 的外心．设 为三角形 的外心，为三角形 的外心．

直线 与 相交于 ，直线 与 相交于 ．已知

证明：四点共圆．

P4

在沃拉里亚，有 支职业足球队，各队的排名互不相同．这里进行的每场比赛都没有平局；若排名较低的球队击败排名较高的球队，就称这场比赛为一次爆冷．

足球协会的新任主席韩俊目前完全不知道任何球队的排名．为了确定所有球队的排名，他计划每天安排一场比赛．每天比赛结束后，他可以根据已经获得的信息决定第二天交锋的两支球队，但安排必须始终满足以下条件：

1. 对任意球队，它连续参加的两场比赛中，对手不能相同．
2. 对任意球队，它所参加的任意连续两场比赛中，至少有一场不是爆冷．
3. 对任意球队，它所参加的任意连续 场比赛中，至少有一场是爆冷．

证明：存在常数 ，使得韩俊能够在

天之内确定所有球队的排名．

初级组

P1

有一个 的方格板．把从一个 单位正方形的四条边中删去一条边后得到的“ㄷ”形图形称为三边框．

求所有满足下述条件的 ：仅使用这种三边框，就能覆盖该方格板的所有单位边．

P2

设 为三角形 的外接圆．点 位于 的弧 上，点 位于三角形 内部，并满足

证明：

P3

判断是否存在函数 ，使得对所有 都有

P4

对于正整数 ，令 为满足下述条件的最小正整数 ：存在正整数 ，使得

对于正整数 ，定义函数 为

定义正整数数列 ，使其满足

证明：存在正整数 ，使得对所有 ，都有