用代数方法证明深圳中学二轮二阶压轴题

深圳中学2024届高三二轮二阶测试压轴题如下：已知曲线$y=\ln x+a$（$a\in\mathbb{R}$）和圆$O:x^2+y^2=r^2$（$r\in\mathbb{R}$，$r>0$）相交于$A,B$两个不同点，记直线$AB$的斜率为$k$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 当$r=\sqrt{2}$时，证明：$a>-1$；\item 当$r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$时，证明：$k>\sqrt{2}$．\end{enumerate}\begin{analysis}主要处理思路是利用和$\ln x$有关的两个常用不等式：$$\ln x\le x-1$$$$\ln x_1-\ln x_2>\frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2},x_1>x_2$$来消除题目中的$\ln x$，转化为代数不等式问题求解．上面两个不等式的证明略．\end{analysis}\begin{proof}设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，不妨设$x_1>x_2$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 若$a\le -1$，则$$y_1=\ln x_1+a\le(x_1-1)+(-1)=x_1-2$$即$x_1-y_1\ge 2$，由Cauchy不等式：$$4=2(x_1^2+y_1^2)\ge(x_1-y_1)^2\ge 4$$等号恰好成立，因此$x_1=1$，$y_1=-1$．同理$x_2=1$，这与$x_1>x_2$矛盾，因此$a>-1$．\nextpage\item 由题意知：$$\begin{cases}x_1^2+y_1^2=\dfrac{3}{4}&\qquad\cdots\cdots\circled{1}\\x_2^2+y_2^2=\dfrac{3}{4}&\qquad\cdots\cdots\circled{2}\\y_1=\ln x_1+a&\qquad\cdots\cdots\circled{3}\\y_2=\ln x_2+a&\qquad\cdots\cdots\circled{4}\end{cases}$$由$x_1>x_2$知：$y_1>y_2$，于是$k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}>0$．由$\circled{3}+\circled{4}$：$$\begin{aligned}&y_1-y_2=\ln x_1-\ln x_2>\frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}\\\iff&k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}>\frac{2}{x_1+x_2}\iff x_1+x_2>\frac{2}{k}>0\end{aligned}$$由$\circled{1}-\circled{2}$：$$\begin{aligned}&x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2=0\\\iff&y_1+y_2=-\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{y_1-y_2}=-\frac{x_1+x_2}{k}\end{aligned}$$由$2\times(\circled{1}+\circled{2})$：$$\begin{aligned}3&=2(x_1^2+x_2^2)+2(y_1^2+y_2^2)>(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2\\&=(x_1+x_2)^2+\frac{(x_1+x_2)^2}{k^2}>\left(\frac{2}{k}\right)^2+\frac{\left(\frac{2}{k}\right)^2}{k^2}\\\iff&3k^4-4k^2-4>0\iff(k^2-2)(3k^2+2)>0\\\iff&k>\sqrt{2}\end{aligned}$$\end{enumerate}\end{proof}