几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答

这是昨天发的2021哈佛麻省数学竞赛春季赛团体赛中几道题的解答．如有更好做法，欢迎交流．

第1题（40分） 正整数，满足．已知

（1）是否一定为整数？

（2）是否一定为整数？

分析 这题比较简单，注意到原式平方后有比较好的结果．结合“为有理数，则必为整数”这一结论即可．

解答 （1）由题意知

为整数，设为．

于是

即

也即

于是为有理数，故为整数．

（2）答案是否定的．例如

而不为整数．

第3题（50分） 已知为正整数，证明存在正整数，使得以下个整数均为正合数：，，，，．

分析 这题的构造的关键是对每个数取一个不同的素因子，用Fermat小定理进行处理．

解答 令

对于任意，设为的一个素因子．

由欧拉函数的积性有

设

于是

又，故为合数．从而构造了连续个合数．

第4题（50分） 已知，为正整数，设

求值（用，表示）：

分析 考虑这个式子的组合意义．

解答 考虑一个行列的正方形网格，在其中取出个小正方形．

设第行中被取出了个小正方形，第列中被取出了个小正方形．于是有

令取出的个小正方形满足：除最后一行外，其余所有被选出的小正方形下方的小正方形均也被选出．于是

这样

即为该组合问题的方法总数．

接下来按列选出这个小正方形，注意到每一列的小正方形个数确定后，其位置也随之确定（从底部向上的连续若干个小正方形）．于是方法数为

第5题（70分） 一个凸多面体的每个面都是全等的三角形，且这个三角形的三个顶角的度数为，，．求这个多面体的面的个数的最大值．

分析 用算两次得到这个多面体面数和棱数的关系，再由每个顶点处的内角和小于得到面数与顶点数的关系．代入欧拉定理即可．

解答 设这个多面体有个顶点，个面，条棱．由欧拉定理：

注意到每个面有条棱，而每条棱被计算次，因此有

注意到这是一个凸多面体，每个顶点处的内角之和必小于．而每个内角的可能度数均为的整数倍，故每个顶点处的内角之和不超过．因此，即

于是

故这个多面体面数的最大值为．

第6题（70分） 函数．求所有的正整数，使得对的所有因数，均有整除．

分析 的因数不会太多，所以先从素数开始考虑，再注意到模的性质，以及如下因式分解

即可得到答案．

解答 满足题意的为，所有模余的素数，以及除以外的所有素数的平方．

首先证明的因数个数不超过，否则存在两个因数和，使得，且．

由知．

注意到

于是有

而

故

这是不可能的，于是的因数个数不超过．因此只能为，素数，素数的平方．

考虑即．有模余．

经验证，满足题意的为，所有模余的素数，以及除以外的所有素数的平方．