Mathematical Reflection 2021年第二期征解题

J547． 求所有素数使得

也为一个素数．

J548． ，，，，均为正实数，且．求证：

J549． ，，为正实数．求证：

J550． ，，为实数，且，，，．求最大的实数，使得

J551． 为正方形的边上一点．和交于点．过点作的垂线，交于点．交于点，交于点．求证：和垂直．

J552． ，，为正实数，且

求证：

S547． 和为小于的正实数，且．求关于的方程

的实数解．

S548． 非负实数，，，满足．求证：

S549． 正实数，，满足

求证：

S550． ，，为正实数．求证：

S551． 的三边长分别为，，，内切圆半径为，外接圆半径为．求证：

并指出等号何时成立．

S552． 在中，．已知在内部存在一点，满足：；，，成等差数列，公差为；．求满足上述条件的所有．

U547． ，，，为实数，且方程

的所有根均为不大于的实数．求证：

U548． 已知为正整数，计算

U549． 计算：

U550． 设

求证：对于任意，均有

U551． 设正系数多项式

的系数满足，其中．求证有个不同的实根．

U552． 求所有实系数多项式，满足

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奥林匹克问题

O547． 的三边长分别为，，，内切圆半径为，外接圆半径为．求证：

O548． 为正整数．求由中的元素构成的矩阵的数目，满足矩阵中的每个元素与其所在行、列的相邻元素不同．

O549． 的内切圆半径为，外接圆半径为．求证：

O550． 在中，半径为的内切圆与边切于点．点在内部，但在外部，满足：

及

求证：点在-旁切圆上．

O551． 的三边长为，，，半周长为，面积为．求证：

O552． 的内心为．内切圆与，，的切点分别为，，．记，，的垂心分别为，，．求证：

（1）的外接圆经过在边的射影；

（2），，的外接圆过同一点，这点即为的费尔巴哈（Feuerbach）点．