2021年加拿大初中数学奥林匹克

1. 设和为同心两圆，在内部．和为上的两点，且不为直径．延长交于点，在处的切线和在处的切线交于点．过作的第二条切线切于点．求证：平分．

2. 有多少种对前个正整数的排列，使得对于任意正整数，该排列的前个数模的余数互不相同？

3. 梯形满足，，且边．设是与直线，，相切的圆的圆心，且和位于直线的两侧，设是与直线，，相切的圆的圆心，且和位于直线的两侧．证明：．

4. 给定正整数，正实数，，，满足．试确定

   

   的最小可能值．

5. 如果函数：满足对所有正整数，都有

   

   那么这个函数被称作加拿大的．求所有正整数，使得对所有加拿大的函数，都有．

文末附上两道几何题的tex代码：(顺便凑字数)

\usepackage{tikz}\usepackage{tkz-euclide}//第1题\begin{tikzpicture}  \tkzDefPoint(0,0){O}  \tkzDefPoint(-50:1.5){P_1}  \tkzDefPoint(40:1.5){P_2}  \tkzDefPoint(0:1.5){C_1}  \tkzDefPoint(0:2.5){C_2}  \tkzInterLC(P_1,P_2)(O,C_2)\tkzGetFirstPoint{Q_2}  \tkzDefTangent[at=Q_2](O)\tkzGetPoint{q}  \tkzDefTangent[at=P_1](O)\tkzGetPoint{p}  \tkzInterLL(Q_2,q)(P_1,p)\tkzGetPoint{X}  \tkzDefTangent[from=X](O,C_2)\tkzGetPoints{Q_2}{Q_1}  \tkzDrawSegments(P_1,Q_2 P_1,X P_1,Q_1 X,Q_1 X,Q_2)  \tkzDrawCircle(O,C_1)  \tkzDrawCircle(O,C_2)  \tkzLabelPoints[below](P_1,Q_1)  \tkzLabelPoints[right](X)  \tkzLabelPoints[left](P_2,Q_2)\end{tikzpicture}  //第3题\begin{tikzpicture}  \tkzDefPoints{-2/-3/A,2/-3/B,1/1/C,-1/1/D}  \tkzInterLL(A,C)(B,D) \tkzGetPoint{E}  \tkzDefTriangleCenter[ex](B,A,E)\tkzGetPoint{I}  \tkzDefPointBy[projection = onto A--B](I) \tkzGetPoint{I_1}  \tkzDefPointBy[projection = onto A--C](I) \tkzGetPoint{I_2}  \tkzDefTriangleCenter[ex](C,D,E)\tkzGetPoint{J}  \tkzDefPointBy[projection = onto D--B](J) \tkzGetPoint{J_1}  \tkzDefPointBy[projection = onto D--C](J) \tkzGetPoint{J_2}  \tkzDrawSegments(A,I_1 B,C J_2,D D,A A,I_2 B,D I,C J,B)  \tkzDrawCircle[dashed](I,I_1)  \tkzDrawCircle[dashed](J,J_1)  \tkzLabelPoints[below](A,B)  \tkzLabelPoints[above](C,D)  \tkzLabelPoints[right](I,J) \end{tikzpicture}