2021年加拿大数学奥林匹克资格复活赛

1. 求所有实系数多项式，使得对于任意实数，有

2. 求方程组

的所有整数解．

3. 为正五边形．圆和分别以和为圆心，且均过点．设和另一个交点为．以为圆心且过和的圆交于点，交于点．求证：．
4. 设的外心为，内心为．过作的垂线交的内切圆于，两点．证明：的外接圆直径等于的周长．
5. Alphonse和Beryl进行一个游戏．开始时，有两个边长为整数的矩形．从Alphonse开始，双方轮流进行如下操作：选择其中一个矩形，将其沿着于边平行的方向切割为两个边长均为整数的矩形．然后从三个矩形（未切割的矩形以及切割成的两个矩形）中丢弃一个，保留剩下两个给另一个玩家．如果玩家无法切割矩形，则该玩家负．
   在下面两个游戏中，哪个玩家将获得胜利：（1）开始的两个矩形为和；
   （2）开始的两个矩形为和．
6. 证明方程

   

   的整数解只能为．
7. 实数，，满足

   

   求的值．
8. 国王Radford在他的宫殿举行宴会．他有一张巨大的圆形桌子，周围放着张椅子．在国王的生日宴会上，他坐在他的宝座上（其中张椅子之一），而其余张椅子上则坐满了客人．最矮的客人坐在国王的左边，其余的客人从下一个位置开始按照高度递增的顺序依次就座．国王宣布，其他所有人从椅子上站起来，绕着桌子随意跑动，再重新在椅子上坐下．这样做之后，国王注意到坐在他左边的人与之前不同，而桌子上其他人也注意到坐在它们左边的人是与之前不同的．
   求客人第二次入座的方法总数．可以用（元集合的排列个数）作为答案的一部分．