2024年马来西亚IMO代表队选拔考试

\section*{2024年马来西亚IMO代表队选拔考试}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\section*{第一天}\ex 锐角$\triangle ABC$的垂心为$H$，$BE$和$CF$为两条高．在射线$BH$和$CH$上分别取点$P$和点$Q$，使得$PQ$平行于$BC$，且$APHQ$四点共圆．设$\triangle APF$和$\triangle AQE$的外接圆再次交于点$X\neq A$．求证：$AX$平行于$BC$．\vfill\ex 设$k$为正整数．求所有整数组$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{k})$，满足存在非线性的整系数多项式$P$，使得对任意正整数$n$，都存在正整数$m$，满足等式：$$P(n+a_1)+P(n+a_2)+...+P(n+a_k)=P(m).$$\vfill\ex 求所有素数$p$，使得对任意整数$k$，都存在整数$x$和$y$，满足$$x^3+2023xy+y^3 \equiv k \pmod p.$$\vfill\newpage\section*{第二天}\ex Zscoder有一个简单无向图$G$，有$n\ge 3$个顶点．Navi为每个顶点标上一个正整数，并在其中一个顶点放置一个标记，现在这个顶点被染为红色．在每一轮中，Zscoder会按照以下规则进行游戏：如果标记当前位于编号为$t$的顶点$v$，那么Zscoder可以沿着$G$中的边移动标记（可能重复经过某些边）恰$t$次．在移动$t$次后，如果标记所在的顶点未被染色，就将其染为红色，否则就什么也不做，然后结束这一回合．Zscoder声称，无论Navi如何安排每个顶点的编号及标记的初始位置，他都能在有限的回合数后将$G$中的所有顶点染为红色．求$G$中边数的最小值（用$n$表示）．\vfill\ex 设$n$为奇素数，$m=\varphi(n)$为欧拉函数．若余数集合$T=\{a_{1},\cdots,a_{k}\}\pmod {n}$满足：$\forall 1\le i\le k$，$\gcd(a_{i},n)>1$，且$\forall 1\le i<j\le k$，$\gcd(a_{i},a_{j})=1$，则称$T$是好的．对一个好的集合$T=\{a_{1},\cdots,a_{k}\}$，定义$S_{n}$为$\sum_{i=1}^k a_i ^m$模$n$的所有不同余数组成的集合．求$|S_{n}|$．\vfill\ex 设$\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$三圆两两外切，$\omega_{1}$和$\omega_{2}$切于点$A$．过点$A$作$\omega_{3}$的两条切线，分别和$\omega_{1}$再次交于点$B,C$．直线$BC$和$\omega_{3}$交于两点，$X$为其中更远离$B$和$C$的一点．求证：过$X$作$\omega_{2}$的切线，和$\triangle ABC$的某个旁切圆也相切．\vfill