2024年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试
【巴尔干数学竞赛系列】局部不等式显神威
2024巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试
程国根 译
1. 在一个给定的群体$\mathcal{F}$中，每个成员至少有两个来自$\mathcal{F}$的熟人．此外，对于$\mathcal{F}$中的每个圈$A_{1}\leftrightarrow A_{2} \leftrightarrow\cdots\leftrightarrow A_{n}\leftrightarrow A_{1}$（这里的“$X \leftrightarrow Y$”表示$X$和$Y$是熟人），每个$A_i$都恰好与圈中的另外两个成员是熟人．求证：在$\mathcal{F}$中存在$X$，$Y$两人，满足他们每个人在$\mathcal{F}$中都正好有两个熟人，且$X$，$Y$在$\mathcal{F}$中至少有一个共同的熟人．
2. 在$\triangle ABC$中，点$D$和点$E$分别在边$BC$和$AC$上．$\triangle ADC$的外接圆与$\triangle BCE$的外接圆交于点$F$（异于$C$）．直线$FE$和$AD$交于点$G$，直线$FD$和$BE$交于点$H$．求证：$CF$，$AH$，$BG$三线共点．
3. 设素数$p\neq 5$．求证：$p^{5}-1$有一个模$5$余$1$的素因子．
4. 正整数$n\ge 2$，实数$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\in [1,2]$．求证：$$|x_1-x_2|+\cdots+|x_n-x_1| + \frac{1}{3} \left(|x_1-x_3|+\cdots+|x_n-x_2|\right) \leq \frac{2}{3} (x_1+\cdots+x_n).$$并求出等号成立条件．
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\section*{2024巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\ex 在一个给定的群体$\mathcal{F}$中，每个成员至少有两个来自$\mathcal{F}$的熟人．此外，对于$\mathcal{F}$中的每个圈$A_{1}\leftrightarrow A_{2} \leftrightarrow\cdots\leftrightarrow A_{n}\leftrightarrow A_{1}$（这里的“$X \leftrightarrow Y$”表示$X$和$Y$是熟人），每个$A_i$都恰好与圈中的另外两个成员是熟人．求证：在$\mathcal{F}$中存在$X$，$Y$两人，满足他们每个人在$\mathcal{F}$中都正好有两个熟人，且$X$，$Y$在$\mathcal{F}$中至少有一个共同的熟人．\vfill\ex 在$\triangle ABC$中，点$D$和点$E$分别在边$BC$和$AC$上．$\triangle ADC$的外接圆与$\triangle BCE$的外接圆交于点$F$（异于$C$）．直线$FE$和$AD$交于点$G$，直线$FD$和$BE$交于点$H$．求证：$CF$，$AH$，$BG$三线共点．\vfill\ex 设素数$p\neq 5$．求证：$p^{5}-1$有一个模$5$余$1$的素因子．\vfill\ex 正整数$n\ge 2$，实数$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\in [1,2]$．求证：$$|x_1-x_2|+\cdots+|x_n-x_1| + \frac{1}{3} \left(|x_1-x_3|+\cdots+|x_n-x_2|\right) \leq \frac{2}{3} (x_1+\cdots+x_n).$$并求出等号成立条件．\vfill
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