2023年马其顿国家队选拔考试

\documentclass{ctexart}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amsmath}\usepackage{enumitem}\usepackage{geometry}\usepackage{setspace}\geometry{a5paper,left=1cm,right=1cm,top=0.5cm,bottom=0.8cm}\usepackage{hyperref}\begin{document}\begin{spacing}{1.4}\section*{2023年马其顿国家队选拔考试}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\section*{第一天}{\bf 1.}对正整数$n>1$，记$s(n)$为$n$的最小素因子，$d(n)$为$n$的正约数个数．能否选取$2023$个正整数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{2023}$，其中$a_{1}<a_{2}-1<\cdots<a_{2023}-2022$，使得对任意$k=1,2,\cdots,2022$，都有$d(a_{k+1}-a_{k}-1)>2023^{k}$，$s(a_{k+1}-a_{k})>2023^{k}$?\vfill{\bf 2.}在锐角$\triangle ABC$中，$AB<AC$，$AB<BC$．点$P$在线段$BC$上，满足$\angle APB=\angle BAC$．$\triangle ABC$的外接圆在点$A$处的切线交$\triangle APB$的外接圆于点$Q$（异于$A$），设点$Q'$和点$Q$关于$AB$的中点中心对称．直线$PQ$和线段$AQ'$交于点$S$．求证：$$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} > \frac{1}{CS}.$$\vfill{\bf 3.}设$f$：$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$单调递增，且满足对任意$n\in\mathbb{N}$，都有$f(f(n))=n^{2}$．求$f(2023)$的最大值和最小值．\vfill\section*{第二天}{\bf 4.}函数$f$：$\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$满足：对任意平面上的单位正三角形，其顶点$A,B,C$满足$f(A)+f(B)+f(C)=0$．求证：对任意$x\in\mathbb{R}^{2}$，$f(x)=0$．\vfill{\bf 5.}设$Q(x) = a_{2023}x^{2023}+a_{2022}x^{2022}+\dots+a_{1}x+a_{0} \in \mathbb{Z}[x]$为整系数多项式．对奇素数$p$，定义多项式$Q_{p}(x) = a_{2023}^{p-2}x^{2023}+a_{2022}^{p-2}x^{2022}+\dots+a_{1}^{p-2}x+a_{0}^{p-2}$．问：是否存在无穷多少个素数$p$，使得对任意$x\in\mathbb{Z}$，$\dfrac{Q_{p}(x)-Q(x)}{p}$均为整数？并在所有这样的多项式$Q$中，求$Q(2023)$的最大值．\vfill{\bf 6.}Lucky和Jinx各得到了一张纸，纸上有正$2023$边形的所有$2023$个顶点．然后，他们的任务是将所有连接这些点的线段染色，使得其中不存在三边同色或三边均不同色的三角形，也不存在四边同色的四边形（可以不是凸四边形）．完成染色后发现，Jinx用的颜色至少比Lucky多了两种，他们每个人各用了几种颜色？\vfill\end{spacing}\end{document}