2023年四川预赛第8题解答

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题目：（2023年四川预赛第8题）

设是的三个内角，则的取值范围为__________．

答案：

构造：

，，时，原式趋于；

，，时，原式趋于．

证明：

上界证明显然，下面证明：

结合和取等条件，进行均值换元：

设，，则，且由，有．

（注：为方便书写，这里让能够取到端点值．）

于是

固定，将上式看作关于的函数，其中．

于是的最小值只可能在端点和极值点处取得．

令得：，其中，．

于是或．

只需考虑：的情形．

(1)时，

(2)时，

(3)时，由得：．

设，有．

设，有

(4)时，由得：．

设，有．于是

倒数第二行的不等式用到了(3)中的结论，两种情况中的取值范围是一样的．

综上所述，有，且等号当且仅当时取得，于是在中，有

评注：

本题难度还是很大的，个人认为是整张卷子最难一题（要求证明的话）。其实直接固定变量来求导也是可以做的，但是过程会复杂不少。这里通过均值换元给出了一个稍简洁一些的解答。