2023 年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试

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\section*{2023年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试}
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程国根\quad 译
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{\bf 1.}正实数列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$定义如下：$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，且对任意正整数$n$，$$\dfrac{a_{n+1}^{4}}{a_{n}^3} = 2a_{n+2}-a_{n+1}.$$
求证：对任意正整数$N>1$，都有$$\sum\limits_{k=1}^{N}\dfrac{a_{k}^{2}}{a_{k+1}}<3.$$
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{\bf 2.}在一次国际象棋比赛中，每对参赛者最多只能相互对弈一次．如果对任意两位没有对弈过的参赛者$A$和$B$，均恰有两位参赛者$C$和$D$，他们与$A$和$B$都对弈过．此外，任意$4$位参赛者之间的对弈总局数均不为$5$．求证：每位参赛者的对局数均相等．
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{\bf 3.}在$\triangle ABC$中，$AB<AC$．$D$为线段$BC$上一点，满足$BD<CD$．$\angle ADB,\angle ADC$的内角平分线分别交$AB,AC$于点$E,F$．设$\omega$为$\triangle AEF$的外接圆，$M$为$EF$的中点．射线$AD$交$\omega$于点$X$，过$X$作$EF$的平行线，交$\omega$于点$Y$．设$YM$交$\omega$于点$T$，求证：$AT,EF,BC$三线共点．
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{\bf 4.}设函数$f:\mathbb{N}_{+}\to\mathbb{N}$不恒为零，且对任意正整数$a,b$，都有$$2f(ab)=(b+1)f(a)+(a+1)f(b).$$
求证：对任意素数$p$，存在素数$q$，正整数$x_{1},\cdots,x_{n}$，及$m\ge 0$，使得$$\frac{f(q^{p})}{f(q)} = (px_{1}+1) \cdots(px_{n}+1) \cdot p^{m},$$
其中$px_{1}+1,\cdots,px_{n}+1$均为素数．
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