赛题翻译
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2021年墨西哥数学奥林匹克
公众号原标题：2021年墨西哥数学奥林匹克——中文翻译
正实数，，为等差数列的连续三项．相异正实数，，也为等差数列的连续三项．能否分别以，，为长，，，为宽，构成三个面积相等的矩形？ 在中，，为上一点，满足．是以为直径的圆，过的直线与切于点，交线段于点，交线段于．求证：为中点当且仅当为中点． 在一块的棋盘中，左下角的小方格处有一只蚂蚁．这只蚂蚁需要到达右上角的小方格，每一次它只能走到自己右方、右上方、上方三个方格之一．然而棋盘中的一些小方格被熔岩所阻挡．已知：
蚂蚁能够完成到达右上角小方格的目标； 如果某个小方格被熔岩所阻挡，那么在其所在列上方的所有小方格也都被熔岩所阻挡． 记为蚂蚁经过偶数次到达右上角的路线数，为蚂蚁经过奇数次到达右上角的路线数．求的所有可能值．
设为锐角不等边三角形，且，垂心为．圆过点且和切于点，圆过点且和切于点．
求证：和恰有一个公共点． 设为的外心，求证：为和的公切线．
设，定义如下：
若为偶数，则 
；若为奇数，则 
． 例如，．
称为“算术的”，如果为的约数．求证：在任意小于的连续个正整数中，必有一个数是“算术的”．
求所有的非空集合，，，，其中每个均为由正整数组成的有限集，并且满足如下性质：对任意正整数和，集合中的元素个数加上集合中的元素个数等于集合中元素的总和．
注：记为集合中的元素个数，为集合中所有元素之和．则问题可以描述为：
对任意正整数和，都有．
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