初级组(Junior Preblems)

J571． 二次方程

的两根为，，其中为实参数．求证： 当且仅当．

J572． 正实数，，满足．求证：

J573． 求证：在任意三角形中，有

J574． 正实数，，满足，且

求证：．

J575． 过圆外一点，作圆的两条切线，分别切圆于点，．点在线段上，为中点．过作的一条切线，与切于点．求证：和垂直．

J576． 正实数，，，满足

求证：

高级组(Senior Problems)

S571． 非零实数满足存在实数，使得

求证：

S572． 求证：在任意三角形中，有

S573． ，，，四点顺次排列在一条直线上．设和分别为以和为直径的圆．圆同时和，外切，圆同时和，内切．和交于，两点．求证：．

S574． 求所有实数，使得

其中为的小数部分．

S575． 锐角三角形的垂心为．，，分别为，，的中点．，，分别为线段，，上的点，且满足

求证：，，三线共点．

S576． 正实数，，，满足．求证：

大学组(Undergraduate Problems)

U571． 设为的实矩阵，实数．求证：若且，则对任意的矩阵，都有．

U572． 计算：

U573． 求证：

U574． 连续函数：满足．求证：对任意正实数，存在，使得

U575． 连续函数：满足．求证：存在，使得

U576． 求所有三元正整数组，满足存在实系数多项式，使得

并确定是否有无穷多个这样的多项式．

奥林匹克问题(Olympiad Problems)

O571． 正实数，，，满足

求证：

O572． ，，，为正整数，为非零整数．映射：满足对任意整数，，都有．且存在满足对任意，都有

求证：存在整数，使得对任意和互素的整数，都有．

O573． 求所有函数：，满足对任意，，都有

O574． 线段为圆的一条弦．圆和分别和内切于点和点，且和交于同一点．弦和交于点．设为上包含点的弧的中点．求证：直线过的圆心．

O575． 设为Lucas数列，，，对于，，，有．求证：若存在正整数，使得

O576． 设的三边长为，，，三边所对应的中线长分别为，，．求证：