9-8恒等式与不等式

在一道三角不等式的若干解法一文中，我们用到了

这一恒等式，在某些地方，这个恒等式被称之为“9-8恒等式”（两个乘积式展开后各有九项和八项）．其揭示了，，这三个关于，，的三元对称式的基本对称式与之间的联系．

此外，结合均值不等式，我们可以得到

这就是“9-8不等式”．

注 事实上，年初中数学联赛二试第三题第问就是“9-8不等式”的证明．

“9-8恒等式”与“9-8不等式”在三元对称不等式中往往应用非常广泛，下面举几个例子进行说明．

例1 ，，为正数，求证：

证明 先假定，，为非负实数（至多一个为）．则

由均值不等式，并注意到即证．

例2 设，，为正实数，证明：

证明 由均值不等式：

由“9-8不等式”：

代入原不等式即证．

例3 正实数，，满足．求证：

证明 将待证不等式两边同时乘以可变为：

由均值不等式：

故只需证明：

即

由“9-8不等式”：

证毕．