换元法证明几道不等式

年IMO的第一天第题第一问如下：

题目1 设实数，，都不等于，满足．求证：

分析 这题难度并不大，方法也非常多．可以直接配方，可以依据这一条件作换元：，，，也可将代入证明．

在这里，我们将待证式中的，，换为，，进行处理．

证明

令，，．

则，，．

代入可得：

即

于是

证毕．

本题可以加强为：

题目2 ，，是三个互不相同的实数，证明：

事实上，本题等价于如下题目：

题目2' 设实数，，都不等于，满足．求证：

这和题目1的方法是完全一致的，读者可以自行完成．

特别地，在时的证明过程中，我们得到如下结论：

若存在实数，，使得，，，则有．

即．

于是在出现条件式而不方便直接使用时，可以反其道而行之，考虑换元：

例如下题：

题目3 实数，，满足，且．求证：

证明

若，则，不妨设，待证不等式转变为，显然成立．

若，则，不妨设，待证不等式转变为，显然成立．

若，由上可设：

于是，原不等式变为：

即

这是一个轮换式，故可分和两种情形讨论．

1. 时，由9-8恒等式与不等式一文中的“9-8不等式”，有

   

   故不等式成立．

2. 时，即证：

   

   只需证

   

   即

   

   结合恒等式

   

   只需证

   

   展开显然．

与题目3类似，我们可以证明如下不等式：

题目4 实数，，满足，且．求证：

证明略．