2023年伊比利亚美洲数学奥林匹克

\section*{2023年伊比利亚美洲数学奥林匹克}\flushright 程国根\quad 译\section*{第一天}\ex 设$n$为正整数．求证：在以下$35$个乘积之中，至少一个数中数码$7$至少出现了一次．$$1\cdot n,2\cdot n,\cdots,35\cdot n$$\vfill\ex 设$\mathbb{Z}$为全体整数组成的集合．求所有函数$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$，使得对任意整数$x$，都有$$2023f(f(x))+2022x^2=2022f(x)+2023[f(x)]^2+1.$$\vfill\ex Ana和Beto用一个天平进行游戏．一共有$2023$个标有质量的哑铃，质量分别为$1,2,\cdots,2023$，且没有重复．两人轮流选择一个未被放在天平上的哑铃，并将它放在此时天平较轻的一侧．如果此时天平是平衡的，则将哑铃随意放在一侧．游戏从Ana开始，然后两人轮流行动．若将所有哑铃放完之后，天平是平衡的，则Ana获胜，否则Beto获胜．问：谁有必胜策略？并描述必胜策略．\vfill\newpage\section*{2023年伊比利亚美洲数学奥林匹克}\flushright 程国根\quad 译\section*{第二天}\ex 设$B,C$为平面上两个定点，动点$A$不在直线$BC$上，$G$为$\triangle ABC$的重心．求所有满足$\angle BAC+\angle BGC=180^{\circ}$的点$A$的轨迹．\vfill\ex 称平面上的一列点$P_{1},\cdots,P_{n}$（不必互异）是\textbf{里约热内卢的}，若存在$1,2,\cdots,n$的一个排列$a_{1},\cdots,a_{n}$，使得线段$P_{a_{1}}P_{a_{2}},P_{a_{2}}P_{a_{3}},\cdots,P_{a_{n}}P_{a_{1}}$的长度均相等．求最大的正整数$k$，使得对平面上任意$k$个点，均可以通过添加$2023-k$个点，使得这$2023$个点是\textbf{里约热内卢的}．\vfill\ex 设$P$是一个次数至少为$4$的整系数多项式．如果存在整数$a,b$，使得$x=P(a)-P(b)$，则称整数$x$能被$P$表示．求证：若对任意自然数$N$，集合$\{0,1,\cdots,N\}$中都有至少一半的数能被$P$表示，则要么所有奇数都能被$P$表示，要么所有偶数都能被$P$表示．\vfill